垂心の座標〜3 つの垂線が 1 点で交わることを式で示す

三角形 $A B C$ の頂点を $B (0, 0)$ 、 $C (c, 0)$ 、 $A (p, q)$ と置きます。各頂点から向かい合う辺へ下ろした 3 本の垂線は、次の 1 点で交わる。

$H (p, \frac{p ( c - p )}{q})$

$A (1, 3)$ 、 $B (0, 0)$ 、 $C (4, 0)$ なら、 $\frac{1 \times ( 4 - 1 )}{3} = 1$ で $H (1, 1)$ です。

この点を垂心といいます。式が 1 つあれば、垂心が三角形の内にあるか外にあるかまで読める。

3 本のうち 2 本の交点

$B C$ を $x$ 軸に乗せたため、 $A$ から $B C$ へ下ろした垂線は縦の直線になる。

$x = p$

$B$ から $C A$ へ下ろす垂線を作ります。 $C A$ の傾きは $\frac{q}{p - c}$ で、垂線の傾きはその逆数の符号を変えた $\frac{c - p}{q}$ 。原点 $B$ を通ります。

$y = \frac{c - p}{q} x$

この 2 本の交点は、 $x = p$ を入れて $y = \frac{p ( c - p )}{q}$ 。冒頭の $H$ です。

3 本目も同じ点を通る

$C$ から $A B$ へ下ろす垂線を作る。 $A B$ の傾きは $\frac{q}{p}$ で、垂線の傾きは $- \frac{p}{q}$ 。こちらは $C (c, 0)$ を通ります。

$y = - \frac{p}{q} (x - c)$

$x = p$ を入れる。

$y = - \frac{p ( p - c )}{q} = \frac{p ( c - p )}{q}$

2 本の交点と同じ値になりました。3 本目もその点を通るため、3 本は 1 点で交わる。

$p = 0$ のときだけ、この書き方が通りません。 $A$ が $B$ の真上にあって $A B$ が $y$ 軸に重なり、傾きが決まらないためです。

このとき $A$ からの垂線は $x = 0$ 、 $C$ からの垂線は $x$ 軸そのもので、交点は $B (0, 0)$ 。式に $p = 0$ を入れた値と一致する。 $p = c$ のときも同じで、交点は $C (c, 0)$ になる。

内か外かは同じ式で決まる

$q > 0$ としておく。頂点 $A$ を $x$ 軸の上側にとった、という意味です。分母が正だから、 $H$ の $y$ 座標の符号は $p (c - p)$ が決める。

$p$ は $A$ から $B C$ へ下ろした垂線の足の $x$ 座標です。足が線分 $B C$ の内側にあれば $0 < p < c$ で、 $p (c - p)$ は正。足が線分の外へはみ出せば負になる。

上へ行きすぎる場合もあります。 $H$ の $y$ 座標から $A$ の $y$ 座標を引く。

$\frac{p ( c - p )}{q} - q = \frac{p ( c - p ) - q ^{2}}{q}$

$p (c - p) = q^{2}$ のとき $H$ は $A$ そのもの。このとき $A B$ の傾き $\frac{q}{p}$ と $A C$ の傾き $\frac{q}{p - c}$ の積が $\frac{q ^{2}}{p ( p - c )} = - 1$ になり、 $A$ が直角です。

$p < 0$ または $p > c$	$H$ は $B C$ をはさんで $A$ の反対側
$p = 0$ または $p = c$	$H$ は $B$ または $C$ に重なる
$0 < p < c$ かつ $p (c - p) < q^{2}$	$H$ は三角形の内部
$p (c - p) = q^{2}$	$H$ は $A$ に重なる
$p (c - p) > q^{2}$	$H$ は $A$ より上

例：3 本の垂線を全部書く

$A (1, 3)$ 、 $B (0, 0)$ 、 $C (4, 0)$ で、3 本の式を並べる。

$A$ から $B C$ へ	$x = 1$
$B$ から $C A$ へ	$y = x$
$C$ から $A B$ へ	$y = - \frac{1}{3} (x - 4)$

$C A$ の傾きは $\frac{0 - 3}{4 - 1} = - 1$ なので、垂線の傾きは $1$ 。 $A B$ の傾きは $3$ で、垂線の傾きは $- \frac{1}{3}$ です。

$x = 1$ を 2 本目に入れると $y = 1$ 、3 本目に入れると $y = - \frac{1}{3} (1 - 4) = 1$ 。どちらも $H (1, 1)$ を指している。

$p (c - p) = 1 \times 3 = 3$ 、 $q^{2} = 9$ で $3 < 9$ 。 $H$ は三角形の内部にある。

例：直角三角形

$A (0, 4)$ 、 $B (0, 0)$ 、 $C (5, 0)$ とします。 $p = 0$ なので $H$ は $B$ に重なる。

$B$ が直角の頂点です。 $A$ から $B C$ へ下ろした垂線は辺 $A B$ に重なり、 $C$ から $A B$ へ下ろした垂線は辺 $B C$ に重なる。2 本とも $B$ を通る。

$B$ からの垂線も $B$ を通るため、3 本が $B$ に集まる。直角三角形では、3 本のうち 2 本が三角形の辺そのものになる。

例：鈍角三角形

$A (5, 2)$ 、 $B (0, 0)$ 、 $C (4, 0)$ とする。 $p = 5$ が $c = 4$ より大きい形です。

$\frac{5 \times ( 4 - 5 )}{2} = - \frac{5}{2}$

$H (5, - \frac{5}{2})$ で、 $x$ 軸の下にある。3 頂点はすべて $x$ 軸の上か軸上にあり、 $H$ だけが下にあります。

確かめる。 $C A$ の傾きは $\frac{0 - 2}{4 - 5} = 2$ で、 $B$ からの垂線は $y = - \frac{1}{2} x$ 。 $x = 5$ で $y = - \frac{5}{2}$ です。

$A B$ の傾きは $\frac{2}{5}$ なので、 $C$ からの垂線は $y = - \frac{5}{2} (x - 4)$ 。 $x = 5$ を入れると、こちらも $- \frac{5}{2}$ になる。

鈍角の頂点は $C$ です。 $C$ から $B$ へ向かう向きは $x$ 軸の負の向き、 $C$ から $A$ へ向かう向きは傾き $1$ の向きだから、あいだの角は $18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ 。

$A (2, 6)$ 、 $B (0, 0)$ 、 $C (8, 0)$ の三角形の垂心はどれですか。

$(2, 2)$
$(2, 6)$
$(\frac{10}{3}, 2)$

__RESULT__

$p = 2$ 、 $c = 8$ 、 $q = 6$ を $\frac{p ( c - p )}{q}$ に入れると $\frac{2 \times 6}{6} = 2$ です。 $(2, 6)$ は頂点 $A$ そのもので、 $H$ が $A$ に重なるのは $p (c - p) = q^{2}$ のとき。 $(\frac{10}{3}, 2)$ は 3 頂点の平均で、重心のほうです。

別の示し方：大きい三角形を作る

座標を使わない筋もあります。各頂点を通って、向かい合う辺に平行な直線を 3 本引く。

3 本の直線が作る大きい三角形を $A^{'} B^{'} C^{'}$ とする。 $C^{'} A$ と $A B^{'}$ はどちらも $B C$ と向かい合う平行四辺形の辺にあたり、長さは $B C$ に等しい。

つまり $A$ は $B^{'} C^{'}$ の中点です。 $B$ と $C$ についても同じで、もとの 3 頂点が大きい三角形の 3 辺の中点になる。

$A$ から下ろした垂線は $B C$ と垂直で、 $B^{'} C^{'}$ は $B C$ に平行。だからこの垂線は $B^{'} C^{'}$ とも垂直で、しかも中点 $A$ を通る。 $B^{'} C^{'}$ の垂直二等分線そのものです。

3 本とも同じことがいえます。垂直二等分線が 1 点で交わるのは外接円の中心があるからで、そこから垂線の交点も 1 つに決まる^[1,3]。

この事実には 20 通り以上の証明が知られていて、最初に記録されたものはチャップルによるとされています^[2]。

補足：外心と重心との関係

外心 $O$ も同じ置き方で求められる。 $B C$ の垂直二等分線は $x = \frac{c}{2}$ 、 $A B$ の垂直二等分線は中点 $(\frac{p}{2}, \frac{q}{2})$ を通って傾き $- \frac{p}{q}$ の直線です。

$O (\frac{c}{2}, \frac{p ^{2} + q ^{2} - c p}{2 q})$

重心 $G$ は 3 頂点の平均で $(\frac{p + c}{3}, \frac{q}{3})$ 。

線分 $O H$ を $1 : 2$ に内分する点を計算する。 $x$ 座標は次のとおり。

$\frac{2 \cdot \frac{c}{2} + 1 \cdot p}{3} = \frac{c + p}{3}$

$y$ 座標も内分点の公式に入れる。

$\frac{2 \cdot \frac{p ^{2} + q ^{2} - c p}{2 q} + \frac{p ( c - p )}{q}}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{p ^{2} + q ^{2} - c p + c p - p ^{2}}{q} = \frac{q}{3}$

どちらも $G$ の座標と一致しました。外心と重心と垂心は 1 直線に並び、重心が線分 $O H$ を $1 : 2$ に分けています。この直線をオイラー線といいます^[4]。

正三角形では 3 点が重なるため、直線が決まらない。

垂心の座標は $(p, \frac{p ( c - p )}{q})$ の 1 つだけです。 $p$ が $0$ と $c$ のあいだにあるか、 $p (c - p)$ が $q^{2}$ より小さいか。三角形の形についての問いが、この 2 つの比較に置きかわります。

出典

Alexander Givental. *Three Points on the Plane*. UC Berkeley.

Existence of the Orthocenter. Cut the Knot.

Höhenschnittpunkt. Wikipedia（ドイツ語）.

*Triangles III: Stewart's Theorem, Orthocenter, Euler Line*. MA 341, University of Kentucky.

$B(0,\ 0)$、$C(c,\ 0)$、$A(p,\ q)$ と置くと、3 本の垂線は $\left(p,\ \dfrac{p(c-p)}{q}\right)$ の 1 点で交わります。$A$ からの垂線が $x = p$ になるため、残り 2 本にこれを入れるだけで交点が決まる。垂心がどこに来るかも、同じ式の符号で読めます。$0 < p < c$ なら $BC$ の $A$ 側、$p = 0$ なら $B$ に重なって直角三角形、$p(c-p) = q^2$ なら $A$ そのもの。$A(1,\ 3)$、$B(0,\ 0)$、$C(4,\ 0)$ では $H(1,\ 1)$ になります。各頂点に対辺の平行線を引いて垂直二等分線に読みかえる筋と、外心・重心と 1 直線に並ぶ話まで。