垂心の座標〜3 つの垂線が 1 点で交わることを式で示す

三角形 $ABC$ の頂点を $B(0,0)$、$C(c,0)$、$A(p,q)$ と置きます。各頂点から向かい合う辺へ下ろした 3 本の垂線は、次の 1 点で交わる。

$$H\left(p,\frac{p(c-p)}{q}\right)$$

$A(1,3)$、$B(0,0)$、$C(4,0)$ なら、$\frac{1\times (4-1)}{3}=1$ で $H(1,1)$ です。

この点を垂心といいます。式が 1 つあれば、垂心が三角形の内にあるか外にあるかまで読める。

3 本のうち 2 本の交点

$BC$ を $x$ 軸に乗せたため、$A$ から $BC$ へ下ろした垂線は縦の直線になる。

$$x=p$$

$B$ から $CA$ へ下ろす垂線を作ります。$CA$ の傾きは $\frac{q}{p-c}$ で、垂線の傾きはその逆数の符号を変えた $\frac{c-p}{q}$。原点 $B$ を通ります。

$$y=\frac{c-p}{q}x$$

この 2 本の交点は、$x=p$ を入れて $y=\frac{p(c-p)}{q}$。冒頭の $H$ です。

3 本目も同じ点を通る

$C$ から $AB$ へ下ろす垂線を作る。$AB$ の傾きは $\frac{q}{p}$ で、垂線の傾きは $-\frac{p}{q}$。こちらは $C(c,0)$ を通ります。

$$y=-\frac{p}{q}(x-c)$$

$x=p$ を入れる。

$$y=-\frac{p(p-c)}{q}=\frac{p(c-p)}{q}$$

2 本の交点と同じ値になりました。3 本目もその点を通るため、3 本は 1 点で交わる。

$p=0$ のときだけ、この書き方が通りません。$A$ が $B$ の真上にあって $AB$ が $y$ 軸に重なり、傾きが決まらないためです。

このとき $A$ からの垂線は $x=0$、$C$ からの垂線は $x$ 軸そのもので、交点は $B(0,0)$。式に $p=0$ を入れた値と一致する。$p=c$ のときも同じで、交点は $C(c,0)$ になる。

内か外かは同じ式で決まる

$q>0$ としておく。頂点 $A$ を $x$ 軸の上側にとった、という意味です。分母が正だから、$H$ の $y$ 座標の符号は $p(c-p)$ が決める。

$p$ は $A$ から $BC$ へ下ろした垂線の足の $x$ 座標です。足が線分 $BC$ の内側にあれば $0<p<c$ で、$p(c-p)$ は正。足が線分の外へはみ出せば負になる。

上へ行きすぎる場合もあります。$H$ の $y$ 座標から $A$ の $y$ 座標を引く。

$$\frac{p(c-p)}{q}-q=\frac{p(c-p)-q^2}{q}$$

$p(c-p)=q^2$ のとき $H$ は $A$ そのもの。このとき $AB$ の傾き $\frac{q}{p}$ と $AC$ の傾き $\frac{q}{p-c}$ の積が $\frac{q^2}{p(p-c)}=-1$ になり、$A$ が直角です。

例：3 本の垂線を全部書く

$A(1,3)$、$B(0,0)$、$C(4,0)$ で、3 本の式を並べる。

$CA$ の傾きは $\frac{0-3}{4-1}=-1$ なので、垂線の傾きは $1$。$AB$ の傾きは $3$ で、垂線の傾きは $-\frac{1}{3}$ です。

$x=1$ を 2 本目に入れると $y=1$、3 本目に入れると $y=-\frac{1}{3}(1-4)=1$。どちらも $H(1,1)$ を指している。

$p(c-p)=1\times 3=3$、$q^2=9$ で $3<9$。$H$ は三角形の内部にある。

例：直角三角形

$A(0,4)$、$B(0,0)$、$C(5,0)$ とします。$p=0$ なので $H$ は $B$ に重なる。

$B$ が直角の頂点です。$A$ から $BC$ へ下ろした垂線は辺 $AB$ に重なり、$C$ から $AB$ へ下ろした垂線は辺 $BC$ に重なる。2 本とも $B$ を通る。

$B$ からの垂線も $B$ を通るため、3 本が $B$ に集まる。直角三角形では、3 本のうち 2 本が三角形の辺そのものになる。

例：鈍角三角形

$A(5,2)$、$B(0,0)$、$C(4,0)$ とする。$p=5$ が $c=4$ より大きい形です。

$$\frac{5\times (4-5)}{2}=-\frac{5}{2}$$

$H\left(5,-\frac{5}{2}\right)$ で、$x$ 軸の下にある。3 頂点はすべて $x$ 軸の上か軸上にあり、$H$ だけが下にあります。

確かめる。$CA$ の傾きは $\frac{0-2}{4-5}=2$ で、$B$ からの垂線は $y=-\frac{1}{2}x$。$x=5$ で $y=-\frac{5}{2}$ です。

$AB$ の傾きは $\frac{2}{5}$ なので、$C$ からの垂線は $y=-\frac{5}{2}(x-4)$。$x=5$ を入れると、こちらも $-\frac{5}{2}$ になる。

鈍角の頂点は $C$ です。$C$ から $B$ へ向かう向きは $x$ 軸の負の向き、$C$ から $A$ へ向かう向きは傾き $1$ の向きだから、あいだの角は $180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$。

別の示し方：大きい三角形を作る

座標を使わない筋もあります。各頂点を通って、向かい合う辺に平行な直線を 3 本引く。

3 本の直線が作る大きい三角形を $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ とする。$C^{\prime }A$ と $A{B}^{\prime }$ はどちらも $BC$ と向かい合う平行四辺形の辺にあたり、長さは $BC$ に等しい。

つまり $A$ は $B^{\prime }{C}^{\prime }$ の中点です。$B$ と $C$ についても同じで、もとの 3 頂点が大きい三角形の 3 辺の中点になる。

$A$ から下ろした垂線は $BC$ と垂直で、$B^{\prime }{C}^{\prime }$ は $BC$ に平行。だからこの垂線は $B^{\prime }{C}^{\prime }$ とも垂直で、しかも中点 $A$ を通る。$B^{\prime }{C}^{\prime }$ の垂直二等分線そのものです。

3 本とも同じことがいえます。垂直二等分線が 1 点で交わるのは外接円の中心があるからで、そこから垂線の交点も 1 つに決まる^[1,3]。

この事実には 20 通り以上の証明が知られていて、最初に記録されたものはチャップルによるとされています^[2]。

補足：外心と重心との関係

外心 $O$ も同じ置き方で求められる。$BC$ の垂直二等分線は $x=\frac{c}{2}$、$AB$ の垂直二等分線は中点 $\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)$ を通って傾き $-\frac{p}{q}$ の直線です。

$$O\left(\frac{c}{2},\frac{p^2+q^2-cp}{2q}\right)$$

重心 $G$ は 3 頂点の平均で $\left(\frac{p+c}{3},\frac{q}{3}\right)$。

線分 $OH$ を $1:2$ に内分する点を計算する。$x$ 座標は次のとおり。

$$\frac{2\cdot \frac{c}{2}+1\cdot p}{3}=\frac{c+p}{3}$$

$y$ 座標も内分点の公式に入れる。

$$\begin{array}{rl}\frac{2\cdot \frac{p^2+q^2-cp}{2q}+\frac{p(c-p)}{q}}{3}& =\frac{1}{3}\cdot \frac{p^2+q^2-cp+cp-p^2}{q}\\ & =\frac{q}{3}\end{array}$$

どちらも $G$ の座標と一致しました。外心と重心と垂心は 1 直線に並び、重心が線分 $OH$ を $1:2$ に分けています。この直線をオイラー線といいます^[4]。

正三角形では 3 点が重なるため、直線が決まらない。

垂心の座標は $\left(p,\frac{p(c-p)}{q}\right)$ の 1 つだけです。$p$ が $0$ と $c$ のあいだにあるか、$p(c-p)$ が $q^2$ より小さいか。三角形の形についての問いが、この 2 つの比較に置きかわります。

出典