対称式なら和と積を出すだけでルートの入った式の値が求まる

$x = 2 + 3$ のとき、 $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ の値は $52$ です。 $x^{3}$ を展開していません。

使ったのは $x + \frac{1}{x} = 4$ と $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ の 2 つだけ。和と積さえ出せば、あとは組み上げるだけで答えが出ます。

逆数が簡単になる形

$x = 2 + 3$ の逆数を求めます。分母を有理化するのが早い。

$\frac{1}{2 + 3} = \frac{2 - 3}{( 2 + 3 ) ( 2 - 3 )} = \frac{2 - 3}{4 - 3} = 2 - 3$

$2 + 3$ の逆数が $2 - 3$ になりました。根号の符号だけが変わる形です^[2]。

だから和は $4$ 、積は $1$ 。どちらも根号が消えて、扱いやすい数になります。

対称式という考え方

$x$ と $y$ を入れかえても変わらない式を、対称式といいます。 $x + y$ 、 $x y$ 、 $x^{2} + y^{2}$ がその例です。

対称式はすべて、 $x + y$ と $x y$ の 2 つだけで書き直せます^[1]。この 2 つを基本対称式と呼びます。

$x^{2} + y^{2} x^{3} + y^{3} = (x + y)^{2} - 2 x y = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$

$y = \frac{1}{x}$ と置けば、 $x + \frac{1}{x}$ と $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ が基本対称式。積が $1$ なので、式がさらに簡単になります。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… bldStage[bldIndex][0] …)

例：2 乗の和

$x + \frac{1}{x} = 4$ の両辺を 2 乗します。

$(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}} = 16$

真ん中の $2$ は $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$ から出ます。移項して $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 14$ 。

積が $1$ なので、引くのはいつも $2$ 。ここが $y = \frac{1}{x}$ の形の便利なところです。

例：3 乗の和

$(x + \frac{1}{x})^{3}$ を展開します。

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x ^{3}} = 64$

真ん中の 2 項は $3 (x + \frac{1}{x}) = 12$ 。よって $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 64 - 12 = 52$ 。

直接 $(2 + 3)^{3} = 26 + 153$ と $(2 - 3)^{3} = 26 - 153$ を計算して足しても $52$ です。手数は倍ほどかかります。

例：4 乗の和

$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 14$ をもう一度 2 乗します。 $x^{2}$ を 1 つの文字と見る形。

$(x^{2} + \frac{1}{x ^{2}})^{2} = x^{4} + 2 + \frac{1}{x ^{4}} = 196$

$x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 194$ 。次数を倍にするたびに、 $2$ を引くだけで進みます。

例：差は対称式ではない

$x - \frac{1}{x}$ は入れかえで符号が変わるので、対称式ではありません。2 乗すれば対称式になります。

$(x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = 12$

よって $x - \frac{1}{x} = \pm 23$ 。符号は $x$ の大きさから決めます。 $x > 1$ なので正で、 $23$ 。

差を求めるときは、2 乗して符号を最後に決める手順になります。

$x = 2 + 3 \approx 3.73$ で $\frac{1}{x} \approx 0.27$ 。 $x$ のほうが大きいので差は正になる。

例：2 つの数が与えられる形

$x = 3 + 2$ 、 $y = 3 - 2$ とします。和と積を先に出します。

$x + y = 23$ 、 $x y = 3 - 2 = 1$ 。積がまた $1$ になりました。

$x^{2} + y^{2} x^{3} + y^{3} = (23)^{2} - 2 = 10 = (23)^{3} - 3 \cdot 23 = 243 - 63 = 183$

$x^{2} + y^{2}$ では根号が消え、 $x^{3} + y^{3}$ では残る。次数が奇数か偶数かで、根号の残り方が変わります。

例：分母に根号がある形

$x = \frac{1}{5 - 2}$ から始めます。まず有理化して $x = 5 + 2$ 。

逆数は $\frac{1}{5 + 2} = 5 - 2$ なので、和は $25$ 、積は $1$ 。

$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (25)^{2} - 2 = 18$

分母に根号があるうちは和も積も見えません。有理化を先に済ませるのが手順です。

$x$	$x + \frac{1}{x}$	$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$
$2 + 3$	$4$	$14$
$5 + 2$	$25$	$18$
$3 + 2$	$23$	$10$

$x = 3 + 22$ のとき、 $x + \frac{1}{x}$ の値はどれですか。

$42$
$6$
$22$

__RESULT__

$(3 + 22) (3 - 22) = 9 - 8 = 1$ なので、逆数は $3 - 22$ 。足すと $6$ になります。

和と積を先に出し、あとは基本対称式で組み上げる。根号の入った式でも、この順番なら展開せずに済みます。

参考文献

Symmetric polynomial - Wikipedia

Difference of two squares - Wikipedia

$x = 2+\sqrt{3}$ のとき $x^3 + \frac{1}{x^3}$ は $52$ です。$x^3$ を展開してはいません。逆数が $2-\sqrt{3}$ になるので、和は $4$、積は $1$。この 2 つから $x^2+\frac{1}{x^2}=14$、$x^3+\frac{1}{x^3}=52$、$x^4+\frac{1}{x^4}=194$ と、次数を上げながら組み上がります。差は入れかえで符号が変わるので対称式ではなく、2 乗してから符号を決める。$\sqrt{3}+\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ の組、分母に根号がある形からの始め方まで扱いました。