ルート 50 は 7 と 8 の間にある - 平方数ではさんで整数部分を出す

$\sqrt{50}$ は $7$ と $8$ の間にあります。$49<50<64$、つまり $7^2<50<8^2$ だからです。

近い平方数ではさむ。それだけで、根号の値がどのあたりにあるかが決まります。小数の計算は 1 度も要りません。

平方数ではさむ

$\sqrt{n}$ の大きさを知りたいときは、$n$ をはさむ 2 つの平方数を探します。

$$k^2\le n<(k+1{)}^2⟹k\le \sqrt{n}<k+1$$

平方根をとる操作は大小の向きを変えません^[2]。だから不等式の形がそのまま移ります。

$50$ は $49$ のすぐ上です。だから $\sqrt{50}$ も $7$ に近く、実際は $7.07$ ほど。

例：大きい数ではさむ

$\sqrt{200}$ を調べます。$14^2=196$、$15^2=225$ なので $14<\sqrt{200}<15$。

$\sqrt{1000}$ なら $31^2=961$、$32^2=1024$ で $31<\sqrt{1000}<32$。

$\sqrt{500}$ は $22^2=484$、$23^2=529$ から $22$ と $23$ の間です。

整数部分の記号

$x$ を超えない最大の整数を、$x$ の整数部分といいます。記号は $[x]$ または $\lfloor x\rfloor$^[1]。

$$[x]\le x<[x]+1$$

$[\sqrt{50}]=7$、$[\sqrt{200}]=14$、$[3.9]=3$、$[5]=5$ です^[3]。

例：整数部分が 5 になる n

$[\sqrt{n}]=5$ をみたす自然数 $n$ を全部求めます。条件は $5\le \sqrt{n}<6$。

2 乗して $25\le n<36$。$n$ は $25$ から $35$ までの $11$ 個です。

個数はいつも奇数になる

$[\sqrt{n}]=k$ をみたす $n$ は、$k^2$ から $(k+1{)}^2-1$ までです。

個数は $(k+1{)}^2-k^2=2k+1$ 個。$k$ が $1$ なら $3$ 個、$2$ なら $5$ 個、$5$ なら $11$ 個です。

平方数と平方数の間隔が $2k+1$ ずつ広がるので、そのまま個数になります。

例：整数部分の和

$n=1$ から $15$ まで、$[\sqrt{n}]$ を全部足します。1 つずつ計算する必要はありません。

$[\sqrt{n}]=1$ になるのは $n=1,2,3$ の 3 個。$2$ になるのは $4$ から $8$ の 5 個。$3$ になるのは $9$ から $15$ の 7 個です。

$$1\times 3+2\times 5+3\times 7=3+10+21=34$$

まとめて数えると、項が多くても手数は変わりません。

例：桁数から見当をつける

$n$ が 3 桁なら $100\le n\le 999$ です。$\sqrt{100}=10$、$\sqrt{999}=31.6$。

だから 3 桁の数の平方根は、$10$ 以上 $32$ 未満。2 桁に収まります。

$n$ が 5 桁なら $\sqrt{n}$ は $100$ 以上 $317$ 以下。桁数が 2 増えるごとに、根号の桁数が 1 増える形です。

検算

はさんだ 2 つの平方数を、実際に計算して確かめます。$14^2=196$、$15^2=225$。

$n$ がその間にあるかを見る。$200$ は確かに $196$ と $225$ の間です。

個数を数えたときは $2k+1$ の式でも出します。$k=5$ なら $11$ 個で、書き出した $25$ から $35$ と一致しました。

近い平方数ではさむ。この一手で、根号の値も整数部分も個数も、同じ形で片づきます。

参考文献