二重根号が外せるかどうかは足して a 掛けて b の組で決まる

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ は $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ になります。$\sqrt{2+\sqrt{2}}$ は、どう変形しても二重根号のままです。

外せるものと外せないものがあります。見分けるのに試行錯誤は要りません。中の 2 つの数から、計算 1 回で決まります^[1]。

外し方のもとになる式

$\sqrt{m}+\sqrt{n}$ を 2 乗します。

$$(\sqrt{m}+\sqrt{n}{)}^2=m+n+2\sqrt{mn}$$

右辺が二重根号の中の形になっています。$m+n$ が外側の数、$mn$ が根号の中の数。

だから $\sqrt{a+2\sqrt{b}}$ を外すには、足して $a$、掛けて $b$ になる 2 数を探せばよい。

$m$ と $n$ は、和が $a$ で積が $b$ の 2 数。$2$ 次方程式 $t^2-at+b=0$ の解にあたります。

例：足して 5、掛けて 6

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ を外します。和が $5$、積が $6$ の組は $3$ と $2$。

$$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$$

2 乗して確かめると $3+2+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}$ で、もとに戻りました。

例：内側の係数が 2 でないとき

$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ では係数が $4$ です。$4\sqrt{3}=2\sqrt{12}$ と直せば、係数が $2$ になります。

和が $7$、積が $12$ の組は $4$ と $3$。差の形なので大きいほうから引きます。

$$\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

$\sqrt{3}-2$ ではありません。左辺は $0$ 以上なので、正になるほうを選びます。

例：9 と 4 のルート 5

$\sqrt{9+4\sqrt{5}}$ です。$4\sqrt{5}=2\sqrt{20}$ に直します。

和が $9$、積が $20$ の組は $5$ と $4$。よって $\sqrt{5}+2$ です。

$(2+\sqrt{5}{)}^2=4+4\sqrt{5}+5=9+4\sqrt{5}$。合っています。

外せる条件

$m$ と $n$ は $t^2-at+b=0$ の解です。これが有理数の解を持つかどうかが分かれ目になります。

判別式は $a^2-4b$。これが平方数なら有理数の解が出て、外せます^[1]。

$$m,n=\frac{a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2}$$

$a^2-4b$ が負なら実数の解すらありません。平方数でない正の数なら、$m$ と $n$ に根号が残って二重根号のままです。

例：外せない二重根号

$\sqrt{2+\sqrt{2}}$ を調べます。$\sqrt{2}=2\sqrt{\frac{1}{2}}$ なので $a=2$、$b=\frac{1}{2}$。

$a^2-4b=4-2=2$ で、平方数ではありません。だから外せない。

$\sqrt{1+\sqrt{2}}$ なら $a^2-4b=1-2=-1$ で負。こちらも外せません。

例：内側の係数を 2 に作る

$\sqrt{3+\sqrt{5}}$ では係数が $1$ です。$2$ にするために、分母と分子に $\sqrt{2}$ を用意します。

$$\sqrt{3+\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$$

内側は和が $6$、積が $5$ で $5$ と $1$。$\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{5}+1$ です。

$$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$$

2 乗すると $\frac{12+4\sqrt{5}}{4}=3+\sqrt{5}$ で、もとに戻りました。

符号の決め方

差の形では、どちらが前に来るかを間違えやすい。左辺は $0$ 以上なので、大きいほうから引きます。

$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ は $2-\sqrt{3}=0.268$ で正。$\sqrt{3}-2=-0.268$ では負になり、合いません。

数値で見れば一目です。$\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{0.0718}=0.268$。

まちがえやすい点

和が $a$、積が $b$ の 2 数を探す。見つかるかどうかは $a^2-4b$ が平方数かどうかで、試す前に決まっています。

参考