立方根はマイナスでも計算できる、n 乗根の規則と有理化

$\sqrt[3]{-27}=-3$ です。$\sqrt{-27}$ は実数の範囲では書けないのに、3 乗根なら負の数も扱えます。

奇数乗と偶数乗で、根号のふるまいが変わります。まずそこを分けてから、計算の規則に入ります^[1]。

n 乗根の定義

$r^n=x$ をみたす $r$ を、$x$ の $n$ 乗根といいます。$n$ 乗して $x$ になる数のこと^[1]。

記号は $\sqrt[n]{x}$。$n=2$ のときだけ、$2$ を省いて $\sqrt{x}$ と書きます。

$8$ の 3 乗根は $2$ で、$\sqrt[3]{8}=2$。$81$ の 4 乗根は $3$ で、$\sqrt[4]{81}=3$ です。

$3$ 乗すると符号がそのまま残ります。$(-3{)}^3=-27$ なので、$-27$ の 3 乗根は $-3$。

$2$ 乗では符号が消えるため、負の数の 2 乗根は実数になりません。奇数乗根と偶数乗根の違いはここです^[2]。

例：立方根の値

$\sqrt[3]{1}=1$、$\sqrt[3]{8}=2$、$\sqrt[3]{27}=3$、$\sqrt[3]{64}=4$、$\sqrt[3]{125}=5$。

負の側も同じ形で並びます。$\sqrt[3]{-8}=-2$、$\sqrt[3]{-64}=-4$。

$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$ が成り立ちます^[2]。マイナスは根号の外へ出せる。

積と商の規則

$0$ 以上の数について、平方根と同じ規則が使えます^[1]。

$$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$

$\sqrt[3]{2}\times \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2$。根号の中で掛けてから、まとめて 3 乗根をとる形です。

例：立方根を簡単にする

$\sqrt[3]{24}$ を簡単にします。$24=8\times 3$ で、$8=2^3$ が 3 乗の形。

$$\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{2^3\times 3}=2\sqrt[3]{3}$$

平方根では 2 乗の因数を外へ出しました。3 乗根では 3 乗の因数を出します。

$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\times 2}=3\sqrt[3]{2}$、$\sqrt[3]{250}=\sqrt[3]{125\times 2}=5\sqrt[3]{2}$。

入れ子と指数

根号の中に根号があるときは、指数が掛け算になります^[2]。

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$$

$\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[6]{a}$ です。$\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[3]{8}=2$ で、$\sqrt[6]{64}=2$ とも一致します。

分数の指数で書くと見通しがよくなる。$\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$ と決めれば、指数法則がそのまま使えます^[1]。

分母の立方根を外す

$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ の分母を有理化します。$\sqrt[3]{2}$ に何を掛ければ整数になるかを考える。

$\sqrt[3]{2}\times \sqrt[3]{4}=2$ なので、$\sqrt[3]{4}$ を掛ければよい。

$$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$$

平方根では 2 個そろえて $2$ 乗にしました。立方根では 3 個そろえます。

例：分母が 2 項のとき

$\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}$ を有理化します。共役を掛ける手は使えません。3 乗の因数分解を使います。

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

$a=\sqrt[3]{2}$、$b=1$ とすると $a^3-b^3=2-1=1$。分母がちょうど $1$ になります。

答えは $\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1$。数値で見ると $1.587+1.260+1=3.847$ で、$\frac{1}{0.260}=3.847$ と一致します。

例：近似値を手で出す

$\sqrt[3]{2}$ のおよその値を求めます。$1.2^3=1.728$、$1.3^3=2.197$ なので、$1.2$ と $1.3$ の間。

$1.26^3=2.000376$ で、$2$ をわずかに超えます。$\sqrt[3]{2}=1.2599\dots$ と分かる。

3 乗して目標にぶつける、というやり方はどの $n$ 乗根でも使えます。

よくあるミス

$n$ 乗の因数を外へ出し、分母は $n$ 個そろえて消す。平方根で覚えた手順が、指数を変えるだけでそのまま通ります。

参考文献