立方根はマイナスでも計算できる、n 乗根の規則と有理化

$3 - 27 = - 3$ です。 $- 27$ は実数の範囲では書けないのに、3 乗根なら負の数も扱えます。

奇数乗と偶数乗で、根号のふるまいが変わります。まずそこを分けてから、計算の規則に入ります^[1]。

n 乗根の定義

$r^{n} = x$ をみたす $r$ を、 $x$ の $n$ 乗根といいます。 $n$ 乗して $x$ になる数のこと^[1]。

記号は $n x$ 。 $n = 2$ のときだけ、 $2$ を省いて $x$ と書きます。

$8$ の 3 乗根は $2$ で、 $38 = 2$ 。 $81$ の 4 乗根は $3$ で、 $481 = 3$ です。

$3$ 乗すると符号がそのまま残ります。 $(- 3)^{3} = - 27$ なので、 $- 27$ の 3 乗根は $- 3$ 。

$2$ 乗では符号が消えるため、負の数の 2 乗根は実数になりません。奇数乗根と偶数乗根の違いはここです^[2]。

例：立方根の値

$31 = 1$ 、 $38 = 2$ 、 $327 = 3$ 、 $364 = 4$ 、 $3125 = 5$ 。

負の側も同じ形で並びます。 $3 - 8 = - 2$ 、 $3 - 64 = - 4$ 。

$3 - a = - 3 a$ が成り立ちます^[2]。マイナスは根号の外へ出せる。

積と商の規則

$0$ 以上の数について、平方根と同じ規則が使えます^[1]。

$n a n b = n ab, \frac{n a}{n b} = n \frac{a}{b}$

$32 \times 34 = 38 = 2$ 。根号の中で掛けてから、まとめて 3 乗根をとる形です。

例：立方根を簡単にする

$324$ を簡単にします。 $24 = 8 \times 3$ で、 $8 = 2^{3}$ が 3 乗の形。

$324 = 3 2^{3} \times 3 = 233$

平方根では 2 乗の因数を外へ出しました。3 乗根では 3 乗の因数を出します。

$354 = 3 27 \times 2 = 332$ 、 $3250 = 3 125 \times 2 = 532$ 。

式	分け方	答え
$324$	$8 \times 3$	$233$
$354$	$27 \times 2$	$332$
$3250$	$125 \times 2$	$532$

入れ子と指数

根号の中に根号があるときは、指数が掛け算になります^[2]。

$m n a = mn a$

$3 a = 6 a$ です。 $364 = 38 = 2$ で、 $664 = 2$ とも一致します。

分数の指数で書くと見通しがよくなる。 $n a = a^{1/ n}$ と決めれば、指数法則がそのまま使えます^[1]。

$664$ が $2$ になるのは、 $64 = 2^{6}$ だからです。

$2^{6} = 64$ なので 6 乗根は $2$ 。 $364 = 4 = 2$ と計算しても同じになる。

分母の立方根を外す

$\frac{1}{3 2}$ の分母を有理化します。 $32$ に何を掛ければ整数になるかを考える。

$32 \times 34 = 2$ なので、 $34$ を掛ければよい。

$\frac{1}{3 2} = \frac{3 4}{3 2 3 4} = \frac{3 4}{2}$

平方根では 2 個そろえて $2$ 乗にしました。立方根では 3 個そろえます。

例：分母が 2 項のとき

$\frac{1}{3 2 - 1}$ を有理化します。共役を掛ける手は使えません。3 乗の因数分解を使います。

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… cubLine[cubIndex][0] …)

$a = 32$ 、 $b = 1$ とすると $a^{3} - b^{3} = 2 - 1 = 1$ 。分母がちょうど $1$ になります。

答えは $34 + 32 + 1$ 。数値で見ると $1.587 + 1.260 + 1 = 3.847$ で、 $\frac{1}{0.260} = 3.847$ と一致します。

例：近似値を手で出す

$32$ のおよその値を求めます。 $1. 2^{3} = 1.728$ 、 $1. 3^{3} = 2.197$ なので、 $1.2$ と $1.3$ の間。

$1.2 6^{3} = 2.000376$ で、 $2$ をわずかに超えます。 $32 = 1.2599 \dots$ と分かる。

3 乗して目標にぶつける、というやり方はどの $n$ 乗根でも使えます。

$3 - 54$ を簡単にするとどれですか。

$- 233$
$- 332$
実数にならない

__RESULT__

$54 = 27 \times 2$ で $27 = 3^{3}$ 。マイナスは根号の外へ出せるので $- 332$ です。3 乗根は負の数でも実数になります。

よくあるミス

3 - 8

を実数でないと考える。奇数乗根は負の数でも実数です。

4 - 16

を実数として扱う。偶数乗根では実数になりません。

324

から

2

を出すのに、

4

の因数を探す。

8

の因数です。

\frac{1}{3 2}

の有理化で

32

を掛ける。

34

が要ります。

分母が 2 項のときに共役を掛ける。3 乗の因数分解を使います。

6 a

を

a 3 a

とする。指数は足し算ではなく掛け算です。

n a n b = n ab

を負の数に当てる。

0

以上でのみ成り立ちます。

$n$ 乗の因数を外へ出し、分母は $n$ 個そろえて消す。平方根で覚えた手順が、指数を変えるだけでそのまま通ります。

参考文献

Nth root - Wikipedia

Kubikwurzel - Wikipedia

$\sqrt[3]{-27} = -3$ です。$\sqrt{-27}$ は実数の範囲で書けないのに、3 乗根なら負の数も扱えます。$3$ 乗では符号がそのまま残り、$2$ 乗では消えるためです。積と商の規則は平方根と同じで、$\sqrt[3]{24}$ は $3$ 乗の因数 $8$ を外へ出して $2\sqrt[3]{3}$。分母の有理化では $\sqrt[3]{2}$ に $\sqrt[3]{4}$ を掛けて $3$ 個そろえます。分母が $\sqrt[3]{2}-1$ のときは $a^3-b^3$ の因数分解を使う形、$\sqrt[6]{a} = \sqrt{\sqrt[3]{a}}$ になる理由まで扱いました。