「整数部分を a、小数部分を b とする」問題はここから始める

$\sqrt{7}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とすると、$b^2+4b=3$ です。$b$ を小数で出してはいません。

$b=\sqrt{7}-2$ という形のまま計算しました。小数部分を「引き算で作った数」として扱うのが、この型の入口になります。

小数部分は引き算で作る

実数 $x$ の整数部分を $[x]$ と書きます。$x$ を超えない最大の整数のこと^[1]。

小数部分は、$x$ から整数部分を引いた残りです^[2]。

$$x=[x]+\{x\},0\le \{x\}<1$$

$\sqrt{7}=2.6457\dots$ なので整数部分は $2$、小数部分は $\sqrt{7}-2$。小数のまま扱わず、この形で持ちます。

例：整数部分を決める

$\sqrt{7}$ の整数部分を求めます。$2^2=4$、$3^2=9$ で $4<7<9$。

よって $2<\sqrt{7}<3$ となり、整数部分は $2$。小数部分は $\sqrt{7}-2$ です。

平方数ではさむ手順がそのまま使えます。$\sqrt{7}=2.6\dots$ と覚えていなくても出せる。

例：b の 2 次式の値

$b=\sqrt{7}-2$ のとき $b^2+4b$ を求めます。展開して整理します。

$$\begin{array}{rl}{b}^2& =7-4\sqrt{7}+4=11-4\sqrt{7}\\ 4b& =4\sqrt{7}-8\end{array}$$

足すと $11-4\sqrt{7}+4\sqrt{7}-8=3$。根号が打ち消し合って整数になりました。

$b$ がみたす 2 次方程式から出す道もあります。$b+2=\sqrt{7}$ を 2 乗すると $b^2+4b+4=7$。移項して $b^2+4b=3$ です。

例：小数部分の逆数

$\frac{1}{b}$ を求めます。$b=\sqrt{7}-2$ なので、分母を有理化します。

$$\frac{1}{\sqrt{7}-2}=\frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}=\frac{\sqrt{7}+2}{3}$$

$\frac{2.6458+2}{3}=1.5486$ で、$\frac{1}{0.6458}$ と一致します。

$a+\frac{1}{b}$ のような式も、これで計算できる。$2+\frac{\sqrt{7}+2}{3}=\frac{8+\sqrt{7}}{3}$ です。

例：整数が足されている形

$3+\sqrt{5}$ の整数部分と小数部分を求めます。$\sqrt{5}=2.236\dots$ なので $3+\sqrt{5}=5.236\dots$。

整数部分は $5$。小数部分は $(3+\sqrt{5})-5=\sqrt{5}-2$ です。

$\sqrt{5}$ の整数部分が $2$ なので、$3$ を足せば整数部分も $3$ だけ増える。この見方で確かめられます。

例：分母に根号がある形

$x=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数部分と小数部分を求めます。まず有理化する。

$\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{1}=2+\sqrt{3}$。

$1<\sqrt{3}<2$ なので $3<x<4$。整数部分は $3$、小数部分は $b=\sqrt{3}-1$ です。

このとき $b^2+2b$ を求めると、$b+1=\sqrt{3}$ を 2 乗して $b^2+2b+1=3$。よって $2$ になります。

b がみたす 2 次方程式を作る

小数部分 $b$ は、いつも $b+(\text{整数})=\sqrt{}$ の形をしています。移項して 2 乗すれば、$b$ の 2 次方程式が出る。

$b=\sqrt{7}-2$ なら $b^2+4b-3=0$。$b=\sqrt{3}-1$ なら $b^2+2b-2=0$。

この式があれば、$b$ の何次式でも次数を下げて値が出せます。小数を使わずに答えまで進めるのは、このためです。

検算のしかた

小数部分が $0$ 以上 $1$ 未満に収まっているかを見ます。$\sqrt{7}-2=0.646$ で、範囲の中。

$1$ を超えていたら、整数部分を 1 つ小さくとっています。負なら 1 つ大きくとりすぎ。

求めた値も小数で確かめます。$b^2+4b$ なら $0.646^2+4\times 0.646=0.417+2.583=3.000$。

つまずきやすいところ

小数部分を「根号から整数を引いた形」で持つ。それだけで、小数を 1 度も使わずに値まで進めます。

出典