どちらが大きいかは 2 乗して決める〜負の数が混じると向きが逆になる

$2\sqrt{3}$ と $3\sqrt{2}$ では、$3\sqrt{2}$ のほうが大きい。2 乗して $12$ と $18$ を比べただけです。

小数に直す必要はありません。ただし、この手が使えるのは両方とも $0$ 以上のときだけ。負が混じると結論がひっくり返ります。

0 以上なら 2 乗して比べてよい

$0\le a<b$ なら $a^2<b^2$ が成り立ちます。逆も成り立つので、大小はそのまま移せます^[1]。

$$0\le a<b⟺a^2<b^2$$

根号の付いた数は $0$ 以上と決まっています。だから根号どうしの比較では、いつでも 2 乗してよい。

例：係数の付いた根号

$2\sqrt{3}$ と $3\sqrt{2}$ を比べます。係数を根号の中へ入れてから 2 乗するのが早い。

$(2\sqrt{3}{)}^2=4\times 3=12$、$(3\sqrt{2}{)}^2=9\times 2=18$。

$12<18$ なので $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$ です。$\sqrt{12}<\sqrt{18}$ と書いても同じこと。

例：根号と整数

$\sqrt{10}$ と $3$ を比べます。整数のほうも 2 乗して $9$ にします。

$10>9$ なので $\sqrt{10}>3$。整数を $\sqrt{9}$ と見れば、根号の中だけの比較になります。

$\sqrt{15}$ と $4$ なら $15<16$ で $\sqrt{15}<4$。$\sqrt{26}$ と $5$ なら $26>25$ で $\sqrt{26}>5$ です。

例：根号の和

$\sqrt{5}+\sqrt{2}$ と $\sqrt{11}$ を比べます。和のまま 2 乗します。

$$(\sqrt{5}+\sqrt{2}{)}^2=7+2\sqrt{10}$$

$\sqrt{11}$ の 2 乗は $11$。$2\sqrt{10}$ と $4$ の比較になるので、もう一度 2 乗して $40>16$。

よって $7+2\sqrt{10}>11$ で、$\sqrt{5}+\sqrt{2}>\sqrt{11}$ です。2 乗を 2 度使う形になりました。

負の数が混じるとき

$-\sqrt{3}$ と $-\sqrt{2}$ を比べます。2 乗すると $3>2$ ですが、答えは $-\sqrt{3}<-\sqrt{2}$。

大小が逆になりました。負の数では、絶対値が大きいほど小さくなるためです。

負の数どうしなら、絶対値で比べて向きを逆にします。$|-\sqrt{3}|>|-\sqrt{2}|$ なので $-\sqrt{3}<-\sqrt{2}$。

正と負が混じるときは、比べるまでもありません。正のほうが大きい。

例：差が小さいものを比べる

$\sqrt{6}-\sqrt{5}$ と $\sqrt{5}-2$ を比べます。どちらも $0.2$ ほどで、2 乗しても差が見えにくい。

分子を有理化すると形が変わります。$\sqrt{6}-\sqrt{5}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$、$\sqrt{5}-2=\frac{1}{\sqrt{5}+2}$。

分子が同じ $1$ なので、分母が大きいほうが小さい。$\sqrt{6}+\sqrt{5}>\sqrt{5}+2$ なので、$\sqrt{6}-\sqrt{5}$ のほうが小さくなります。

数値で見ると $0.2134$ と $0.2361$。合っています。

例：3 乗根と平方根

$\sqrt{2}$ と $\sqrt[3]{3}$ を比べます。指数がそろわないので、$2$ と $3$ の最小公倍数の $6$ 乗にそろえる。

$(\sqrt{2}{)}^6=2^3=8$、$(\sqrt[3]{3}{)}^6=3^2=9$。

$8<9$ なので $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$ です。$1.4142$ と $1.4422$ で、確かにそうなっています。

$0$ 以上かどうかを見てから 2 乗する。この 1 手順を挟むだけで、根号の大小はほとんど機械的に決まります。

参考