ルートを消して 2 次式を作る（代入せずに値を出す次数下げ）

$x = 2 + 3$ のとき、 $x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 5$ の値は $6 + 3$ です。 $x$ を 3 乗してはいません。

先に $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ という等式を作り、それで次数を下げました。代入は最後の 1 回だけで済みます。

根号を消して 2 次式を作る

$x = 2 + 3$ から根号だけを残す形に移します。

$x - 2 = 3$

両辺を 2 乗すると $x^{2} - 4 x + 4 = 3$ 。整理して $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ が得られます。

根号は 2 乗で消えます。 $3$ を片側に寄せてから 2 乗する、という順序が要点^[1]。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… mkeStep[mkeIndex][0] …)

次数を下げる

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$ を $x^{2} = 4 x - 1$ と書き直します。 $x^{2}$ が出るたびに、 $4 x - 1$ へ置きかえられる。

$x^{3}$ なら $x \cdot x^{2} = x (4 x - 1) = 4 x^{2} - x$ で、もう一度置きかえて $4 (4 x - 1) - x = 15 x - 4$ 。

高い次数の項が、すべて $a x + b$ の形に落ちます。最後に 1 度だけ $x = 2 + 3$ を入れれば終わり。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… dwnLine[dwnIndex][0] …)

例：3 次式の値

$x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 5$ を求めます。 $x^{2} - 4 x + 1$ で割るのが早い。

$x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 5 = (x^{2} - 4 x + 1) (x + 1) + (x + 4)$

かっこの中は $0$ なので、残るのは $x + 4$ 。 $x = 2 + 3$ を入れて $6 + 3$ です。

置きかえで進めても同じ。 $x^{3} = 15 x - 4$ 、 $x^{2} = 4 x - 1$ を代入すると $(15 x - 4) - 3 (4 x - 1) - 2 x + 5 = x + 4$ 。

例：4 次式の値

$x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 1$ を求めます。 $x^{4} = 56 x - 15$ 、 $x^{3} = 15 x - 4$ 、 $x^{2} = 4 x - 1$ 。

$(56 x - 15) - 4 (15 x - 4) + 2 (4 x - 1) + 1 = 56 x - 15 - 60 x + 16 + 8 x - 2 + 1 = 4 x$

$4 x = 8 + 43$ になります。4 次の項を直接展開すれば、 $(2 + 3)^{4} = 97 + 563$ の計算が必要でした。

例：黄金比の形

$x = \frac{1 + 5}{2}$ とします。 $2 x - 1 = 5$ から 2 乗して $4 x^{2} - 4 x + 1 = 5$ 。

整理すると $x^{2} - x - 1 = 0$ 、つまり $x^{2} = x + 1$ 。次数を 1 つ下げるたびに、係数がフィボナッチ数列で伸びます。

$x^{3} = x^{2} + x = 2 x + 1$ 、 $x^{4} = 2 x^{2} + x = 3 x + 2$ 、 $x^{5} = 5 x + 3$ 。 $1, 1, 2, 3, 5$ の並びが現れました。

例：根号が 2 つある場合

$x = 2 + 3$ では、1 度の 2 乗では消えません。 $x^{2} = 5 + 26$ となり、根号が残ります。

$x^{2} - 5 = 26$ ともう一度寄せて 2 乗する。 $x^{4} - 10 x^{2} + 25 = 24$ で、 $x^{4} - 10 x^{2} + 1 = 0$ 。

4 次式になりました。根号が 2 種類あると、消すのに 2 回の 2 乗が要ります。

例：作った等式をそのまま使う

$x = 2 + 3$ のとき $x^{4} - 10 x^{2} + 2024$ の値を求めます。

$x^{4} - 10 x^{2} + 1 = 0$ から $x^{4} - 10 x^{2} = - 1$ 。代入するまでもなく $- 1 + 2024 = 2023$ です。

式の形が作った等式に近いほど、計算は短くなります。

次数下げを使う

高い次数の項がある。整数係数の等式を作って割る

対称式を使う

$x$ と $\frac{1}{x}$ の対になっている。和と積から組み上げる

$x = 3 - 2$ のとき、 $x$ がみたす整数係数の 2 次方程式はどれですか。

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$
$x^{2} - 6 x + 7 = 0$
$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

__RESULT__

$x - 3 = - 2$ の両辺を 2 乗すると $x^{2} - 6 x + 9 = 2$ 。整理して $x^{2} - 6 x + 7 = 0$ です。

根号を寄せて 2 乗し、整数係数の等式を作る。そこから先は、根号がまったく出てこない計算になります。

出典

Quadratwurzel - Wikipedia

$x = 2+\sqrt{3}$ のとき $x^3-3x^2-2x+5$ は $6+\sqrt{3}$ です。$x$ を 3 乗してはいません。$x-2=\sqrt{3}$ を 2 乗して $x^2-4x+1=0$ を先に作り、$x^2$ を $4x-1$ へ置きかえるだけで $x^3 = 15x-4$、$x^4 = 56x-15$ と 1 次に落ちます。代入は最後の 1 回で終わり。黄金比 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ では係数がフィボナッチ数列で伸びること、$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は 2 回 2 乗して $x^4-10x^2+1=0$ になることまで扱いました。