ルート 2 が分数で書けないのはなぜ？背理法で示す無理数の証明

$2 = 1.41421356 \dots$ を、分数で正確に書き表すことはできません。 $\frac{99}{70}$ も $\frac{577}{408}$ も、近いだけです^[1]。

「まだ見つかっていない」ではなく「存在しない」。分数で書けたと仮定すると矛盾が出る、という形で示します。

有理数と無理数

整数の比 $\frac{a}{b}$ で書ける実数を有理数、書けない実数を無理数といいます^[2]。

$0.5 = \frac{1}{2}$ も $- 3 = \frac{- 3}{1}$ も有理数。整数も小数も、比の形になれば有理数です。

$2$ がそこに入らないことを示すのが、この記事の目標になります。

背理法の骨組み

$2 = \frac{a}{b}$ と書けたとします。ここで $a$ と $b$ は整数で、これ以上約分できない形にしておく。

両辺を 2 乗すると $2 = \frac{a ^{2}}{b ^{2}}$ 、つまり $a^{2} = 2 b^{2}$ です。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… proStep[proIndex][0] …)

$a^{2}$ が偶数なので $a$ も偶数。奇数を 2 乗しても奇数にしかならないためです。

$a = 2 k$ と置くと $4 k^{2} = 2 b^{2}$ で、 $b^{2} = 2 k^{2}$ 。同じ理屈で $b$ も偶数になります。

どこで矛盾になるか

$a$ も $b$ も偶数なら、 $\frac{a}{b}$ はまだ $2$ で約分できます。約分できない形に置いたはずでした。

仮定が誤っていたことになります。よって $2$ は分数で書けません^[3]。

約分の条件を置かない書き方もあります。その場合は「 $2$ で割り続けられる」という形になり、正の整数が無限に小さくなる矛盾を使います。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… halForm[halIndex] …)

例：ルート 3 でも同じ筋道

$3 = \frac{a}{b}$ （既約）と置くと $a^{2} = 3 b^{2}$ 。 $a^{2}$ が $3$ の倍数です。

$3$ は素数なので、 $a$ も $3$ の倍数になります。 $a = 3 k$ と置くと $9 k^{2} = 3 b^{2}$ で、 $b^{2} = 3 k^{2}$ 。

$b$ も $3$ の倍数となり、既約に反しました。 $3$ も無理数です。

例：ルート 4 では通らない

同じ手順を $4$ で試すと、途中で止まります。 $a^{2} = 4 b^{2}$ から $a = 2 b$ が出るだけ。

$a$ が $2$ の倍数だと分かっても、 $b$ が $2$ の倍数だとは言えません。 $\frac{2}{1}$ が反例です。

効いていたのは「 $p$ が素数のとき、 $p$ が $a^{2}$ を割るなら $a$ も割る」という性質でした。 $4$ は素数ではないので使えません。

$p$ が素数でないと、 $p ∣ a^{2}$ から $p ∣ a$ が言えません。

$4 ∣ 2^{2}$ は成り立つが $4 ∣ 2$ は成り立たない。証明の要はここにある。

平方数でなければ無理数

一般に、 $n$ が平方数でない自然数なら $n$ は無理数です。

$n$ の素因数分解に、指数が奇数の素数 $p$ が必ず含まれます。その $p$ について、上と同じ議論が通る。

$6$ 、 $7$ 、 $10$ はどれも無理数。 $9 = 3$ や $16 = 4$ だけが整数になります。

例：ルート 2 とルート 3 の和

$2 + 3$ も無理数です。これが有理数 $s$ だと仮定します。

2 乗すると $s^{2} = 5 + 26$ なので、 $6 = \frac{s ^{2} - 5}{2}$ 。右辺は有理数どうしの計算なので有理数です。

ところが $6$ は平方数ではないので $6$ は無理数。矛盾しました。

近似する分数

無理数でも、分数でいくらでも近づけられます。 $2$ の近似分数を精度の順に並べます^[1]。

$\frac{577}{408} = 1.4142156 \dots$ で、小数第 5 位まで合っています。それでも一致はしません。

無理数の小数表示は、終わりもせず、くり返しもしません^[2]。 $2$ の桁は $1.41421356 \dots$ と、規則なく続きます。

検算のしかた

証明の各段を、具体的な数で試します。 $a$ が奇数なら $a^{2}$ も奇数。 $3^{2} = 9$ 、 $5^{2} = 25$ で確かめられます。

$4$ で証明が止まる点も見ておきます。止まらなければ、素数を使っていない証明になっている。

近似分数は 2 乗して確かめます。 $(\frac{577}{408})^{2} = \frac{332929}{166464}$ で、 $2$ より $\frac{1}{166464}$ だけ大きい。

$2$ が無理数であることの証明で、 $a^{2}$ が偶数から $a$ が偶数を導く根拠はどれですか。

偶数の 2 乗は偶数だから
奇数を 2 乗しても奇数にしかならないから
$a$ と $b$ が互いに素だから

__RESULT__

$a$ が奇数なら $a^{2}$ も奇数になります。 $a^{2}$ が偶数である以上、 $a$ は奇数ではありえません。

分数で書けたと置き、既約という条件にぶつける。証明はこの一手で、あとは計算が続くだけです。

参考文献

Square root of 2 - Wikipedia

Irrationale Zahl - Wikipedia

Nombre irrationnel - Wikipédia

$\frac{99}{70}$ も $\frac{577}{408}$ も $\sqrt{2}$ に近いだけで、一致はしません。「まだ見つかっていない」ではなく「存在しない」ことを示します。既約分数 $\frac{a}{b}$ と置いて 2 乗すると $a^2 = 2b^2$。$a$ が偶数だと分かり、続いて $b$ も偶数になって、約分できない形に置いた前提とぶつかります。$\sqrt{3}$ でも同じ筋道が通り、$\sqrt{4}$ では途中で止まる理由、平方数でなければ無理数になること、$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が無理数である示し方まで扱いました。