ルートの入った式を展開する - 和と差の積で根号が消える

$(3 + 2) (3 - 2)$ は $1$ です。根号が 4 つ並んでいるのに、答えは整数になります。

和と差の積では、真ん中の項が消えて 2 乗どうしの差だけが残るためです^[1]。展開の公式は、根号が入っても形を変えません。

展開の公式はそのまま使える

$3$ や $2$ を、 $a$ や $b$ と同じ文字として扱います。展開してから $(3)^{2} = 3$ と直せばよい。

$(3 + 2)^{2} = (3)^{2} + 232 + (2)^{2} = 5 + 26$

$32 = 6$ は、根号どうしの積の規則から出ます^[2]。

角の 2 枚は整数、残る 2 枚が $6$ ずつ。足して $5 + 26$ です。

例：和と差の積

$(3 + 2) (3 - 2)$ では、 $a^{2} - b^{2}$ の形が使えます。

$(3)^{2} - (2)^{2} = 3 - 2 = 1$

根号が完全に消えました。この性質が、分母の有理化で共役を掛ける理由でもあります^[1]。

$(5 + 3) (5 - 3) = 2$ 、 $(2 + 3) (2 - 3) = 1$ 。どれも整数になります。

例：3 項の積

$(2 + 3 + 5) (2 + 3 - 5)$ を求めます。9 個の積を並べる必要はありません。

$2 + 3$ を 1 つのかたまりと見ると、和と差の積の形になります。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… grpLine[grpIndex][0] …)

答えは $26$ 。符号が違う項を 2 つ見つけ、残りをかたまりにするのが手順です。

例：3 乗の展開

$(2 + 3)^{3}$ を求めます。 $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ をそのまま当てます。

$(2)^{3} + 3 (2)^{2} 3 + 32 (3)^{2} + (3)^{3} = 22 + 63 + 92 + 33 = 112 + 93$

$(2)^{3} = 22$ のように、奇数乗では根号が 1 つ残ります。偶数乗なら整数です。

因数分解では根号を係数にする

$x^{2} - 3$ は、有理数の範囲では因数分解できません。根号を使ってよいなら分かれます。

$x^{2} - 3 = (x + 3) (x - 3)$

$3 = (3)^{2}$ と見て、和と差の積に当てはめた形です。

$x^{2} - 5 = (x + 5) (x - 5)$ 、 $x^{2} - 2 = (x + 2) (x - 2)$ 。同じ手が通ります。

例：平方の形にまとめる

$x^{2} - 22 x + 2$ を因数分解します。 $2 = (2)^{2}$ で、真ん中が $2 \cdot x \cdot 2$ 。

$x^{2} - 22 x + 2 = (x - 2)^{2}$

$x^{2} + 23 x + 3 = (x + 3)^{2}$ も同じ形です。定数項が平方になっているかを先に見ます。

真ん中の項の係数が $2 a$ の形になっていれば、平方にまとまる見込みがあります。

$x^{2} - 22 x + 2$ では $2$ が 2 度出る。定数項が $(2)^{2}$ と合えば確定。

例：4 次式を根号まで分ける

$x^{4} - 5 x^{2} + 6$ は、 $x^{2}$ を 1 つの文字と見れば $(x^{2} - 2) (x^{2} - 3)$ に分かれます。

さらに根号を使うと、4 つの 1 次式まで分けられる。

$(x + 2) (x - 2) (x + 3) (x - 3)$

どこまで分けるかは問題文の指定によります。「有理数の範囲で」なら 2 つ、「実数の範囲で」なら 4 つ。

例：解から因数分解を作る

$x^{2} - 4 x + 1$ の解は $x = 2 \pm 3$ です。解が分かれば、因数分解の形も決まります。

$x^{2} - 4 x + 1 = (x - 2 - 3) (x - 2 + 3)$

展開して確かめると、 $(x - 2)^{2} - 3 = x^{2} - 4 x + 1$ に戻ります。解の公式と因数分解は、同じことを別の向きから見た形です。

式	因数分解	範囲
$x^{2} - 3$	$(x + 3) (x - 3)$	実数
$x^{2} - 22 x + 2$	$(x - 2)^{2}$	実数
$x^{4} - 5 x^{2} + 6$	$(x^{2} - 2) (x^{2} - 3)$	有理数

$(7 + 3) (7 - 3)$ の値はどれですか。

$21$
$4$
$10$

__RESULT__

和と差の積なので $(7)^{2} - (3)^{2} = 7 - 3 = 4$ です。 $10$ は 2 乗の和、 $21$ は積にあたります。

根号を文字と同じに扱い、最後に 2 乗を整数へ直す。展開も因数分解も、この順番なら普通の式と変わりません。

参考

Difference of two squares - Wikipedia

Racine carrée - Wikipédia

$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ は $1$ です。根号が 4 つ並んでいても、真ん中の項が打ち消し合うので整数になる。展開の公式は根号が入っても形を変えません。$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = 5+2\sqrt{6}$ を面積図で確かめ、3 項の積はかたまりに置きかえて 2 項に持ち込みます。$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^3$ で奇数乗だけ根号が残る理由、$x^2-3$ を実数の範囲で分ける因数分解、解 $2\pm\sqrt{3}$ から因数の形を作る向きまで扱いました。