ルートの入った式を展開する - 和と差の積で根号が消える

$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ は $1$ です。根号が 4 つ並んでいるのに、答えは整数になります。

和と差の積では、真ん中の項が消えて 2 乗どうしの差だけが残るためです^[1]。展開の公式は、根号が入っても形を変えません。

展開の公式はそのまま使える

$\sqrt{3}$ や $\sqrt{2}$ を、$a$ や $b$ と同じ文字として扱います。展開してから $(\sqrt{3}{)}^2=3$ と直せばよい。

$$(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2+2\sqrt{3}\sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2=5+2\sqrt{6}$$

$\sqrt{3}\sqrt{2}=\sqrt{6}$ は、根号どうしの積の規則から出ます^[2]。

角の 2 枚は整数、残る 2 枚が $\sqrt{6}$ ずつ。足して $5+2\sqrt{6}$ です。

例：和と差の積

$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ では、$a^2-b^2$ の形が使えます。

$$(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=3-2=1$$

根号が完全に消えました。この性質が、分母の有理化で共役を掛ける理由でもあります^[1]。

$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=2$、$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1$。どれも整数になります。

例：3 項の積

$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})$ を求めます。9 個の積を並べる必要はありません。

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を 1 つのかたまりと見ると、和と差の積の形になります。

答えは $2\sqrt{6}$。符号が違う項を 2 つ見つけ、残りをかたまりにするのが手順です。

例：3 乗の展開

$(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^3$ を求めます。$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ をそのまま当てます。

$$\begin{array}{rl}& (\sqrt{2}{)}^3+3(\sqrt{2}{)}^2\sqrt{3}+3\sqrt{2}(\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^3\\ & =2\sqrt{2}+6\sqrt{3}+9\sqrt{2}+3\sqrt{3}=11\sqrt{2}+9\sqrt{3}\end{array}$$

$(\sqrt{2}{)}^3=2\sqrt{2}$ のように、奇数乗では根号が 1 つ残ります。偶数乗なら整数です。

因数分解では根号を係数にする

$x^2-3$ は、有理数の範囲では因数分解できません。根号を使ってよいなら分かれます。

$$x^2-3=(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$$

$3=(\sqrt{3}{)}^2$ と見て、和と差の積に当てはめた形です。

$x^2-5=(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$、$x^2-2=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$。同じ手が通ります。

例：平方の形にまとめる

$x^2-2\sqrt{2}x+2$ を因数分解します。$2=(\sqrt{2}{)}^2$ で、真ん中が $2\cdot x\cdot \sqrt{2}$。

$$x^2-2\sqrt{2}x+2=(x-\sqrt{2}{)}^2$$

$x^2+2\sqrt{3}x+3=(x+\sqrt{3}{)}^2$ も同じ形です。定数項が平方になっているかを先に見ます。

例：4 次式を根号まで分ける

$x^4-5x^2+6$ は、$x^2$ を 1 つの文字と見れば $(x^2-2)(x^2-3)$ に分かれます。

さらに根号を使うと、4 つの 1 次式まで分けられる。

$$(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$$

どこまで分けるかは問題文の指定によります。「有理数の範囲で」なら 2 つ、「実数の範囲で」なら 4 つ。

例：解から因数分解を作る

$x^2-4x+1$ の解は $x=2\pm \sqrt{3}$ です。解が分かれば、因数分解の形も決まります。

$$x^2-4x+1=(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})$$

展開して確かめると、$(x-2{)}^2-3=x^2-4x+1$ に戻ります。解の公式と因数分解は、同じことを別の向きから見た形です。

根号を文字と同じに扱い、最後に 2 乗を整数へ直す。展開も因数分解も、この順番なら普通の式と変わりません。

参考