小数を見れば有理数かどうかわかる、循環するか終わるかの二択

$\frac{1}{7}=0.142857142857\dots$ は $6$ 桁でくり返し、$\frac{1}{8}=0.125$ は 3 桁で終わります。

有理数の小数は、この 2 通りしかありません。終わるか、くり返すか。$\sqrt{2}$ のようにどちらでもない小数が、無理数です^[1]。

割り算の余りは有限通り

$1÷7$ を筆算で進めます。現れる余りは $3,2,6,4,5,1$ の 6 通りで、次にまた $3$ に戻る。

余りとして出てくるのは $0$ から $6$ の 7 通りだけ。同じ余りが 2 度現れたら、そこから先はまったく同じ計算のくり返しになります。

くり返す長さは、余りの種類より短くなります。$\frac{1}{7}$ なら最大 $6$ 桁で、実際に $6$ 桁。

一般に $\frac{1}{n}$ の循環の長さは $n-1$ 以下です。$\frac{1}{11}=0.\overline{09}$ は $2$ 桁で戻ります。

終わる小数の条件

余りが $0$ になれば、そこで割り算は止まります。小数が有限桁で終わる場合です。

既約分数の分母が $2$ と $5$ だけでできているとき、そしてそのときに限って終わります^[1]。

$10=2\times 5$ なので、分母を $10$ のべきに直せるかどうかが分かれ目になる。

$\frac{1}{8}$ の分母は $2^3$ なので終わります。$\frac{1}{6}$ は $2\times 3$ で $3$ が混じるため、くり返す。

$\frac{3}{25}$ は $25=5^2$ で終わり、$0.12$。既約にしてから分母を見るのが大切です。

循環小数を分数に直す

$x=0.\overline{21}$ とします。循環の長さが $2$ なので、$100$ 倍して差をとる^[3]。

$$\begin{array}{rl}100x& =21.212121\dots \\ x& =0.212121\dots \end{array}$$

引くと $99x=21$ で、$x=\frac{21}{99}=\frac{7}{33}$。循環する部分がきれいに消えました。

例：循環が途中から始まる場合

$x=0.12\overline{3}=0.123333\dots$ とします。循環しない桁が 2 つあります。

先に $100$ 倍して循環の直前まで送り、さらに $10$ 倍したものと差をとる。

$$\begin{array}{rl}1000x& =123.333\dots \\ 100x& =12.333\dots \end{array}$$

$900x=111$ なので $x=\frac{111}{900}=\frac{37}{300}$。約分後の分母 $300=2^2\times 3\times 5^2$ に $3$ が残ります。

例：0.999… は 1

$x=0.\overline{9}$ とすると $10x=9.999\dots$。差をとると $9x=9$ で $x=1$。

近づくのではなく、等しい。$0.\overline{9}$ と $1$ は、同じ数の別の書き方です。

$\frac{1}{3}=0.\overline{3}$ の両辺を 3 倍しても同じ式が出ます。

無理数の小数

無理数は、終わりもせず、くり返しもしません^[2]。$\sqrt{2}=1.41421356\dots$ の桁に周期はない。

もし循環していたら、上の手順で分数に直せてしまいます。$\sqrt{2}$ が分数で書けないことに反する。

$\pi =3.14159\dots$ も同じです。桁がどこまでも規則なく続きます。

例：作られた無理数

$0.1010010001\dots$ という数を考えます。$1$ の間に $0$ を 1 個、2 個、3 個と増やしていく形。

終わらないのは明らかで、くり返しもしません。$0$ の並びが伸び続けるためです^[2]。

有理数でもなく、根号を使って書ける数でもない。無理数は根号の付いた数だけではありません。

小数を見て、終わるか、くり返すか、どちらでもないか。この 3 択で有理数と無理数が分かれます。

参考