「両辺の係数を比べてよい」がルートの入った等式で成り立つ理由

$a+b\sqrt{2}=5+3\sqrt{2}$ で $a$ と $b$ が有理数なら、$a=5$、$b=3$ です。ほかの組み合わせはありません。

見た目には当たり前ですが、成り立つ理由は $\sqrt{2}$ が無理数であることにあります。そこを踏まないと、使ってよい場面が分からなくなる。

なぜ確かめる必要があるか

同じ形でも $\sqrt{4}$ なら話が変わります。$a+b\sqrt{4}=a+2b$ なので、$a=1,b=2$ でも $a=3,b=1$ でも値は $5$。

係数の組は 1 つに決まりません。$\sqrt{4}=2$ が有理数だからです。

$\sqrt{2}$ で成り立って $\sqrt{4}$ で成り立たない。この差がどこから来るかを見ます。

主張と証明

$a$、$b$、$c$、$d$ を有理数とし、$a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}$ とします。移項して 1 つにまとめる。

$$(b-d)\sqrt{2}=c-a$$

ここで $b\ne d$ と仮定すると、両辺を $b-d$ で割れます。

$$\sqrt{2}=\frac{c-a}{b-d}$$

右辺は有理数どうしの割り算なので有理数。$\sqrt{2}$ が無理数であることに反します^[1]。

したがって $b=d$。すると $(b-d)\sqrt{2}=0$ なので $c-a=0$、つまり $a=c$ です。

証明で使ったのは $\sqrt{2}$ が無理数という 1 点だけ。$\sqrt{3}$ でも $\sqrt{5}$ でも同じ議論が通ります。

等式が連立に分かれる

この性質があると、根号を含む 1 本の等式が、有理数の連立方程式 2 本に分かれます。

$A+B\sqrt{2}=0$（$A$、$B$ は有理数）なら $A=0$ かつ $B=0$。右辺を $0+0\sqrt{2}$ と見た形です。

例：解から方程式を作る

$x=1+\sqrt{2}$ が $x^2+px+q=0$ の解で、$p$ と $q$ は有理数とします。

$x^2=3+2\sqrt{2}$ を代入して整理すると $(3+p+q)+(2+p)\sqrt{2}=0$。

係数を比べて $2+p=0$、$3+p+q=0$。よって $p=-2$、$q=-1$ で、方程式は $x^2-2x-1=0$ です。

代入して確かめると $(3+2\sqrt{2})-2(1+\sqrt{2})-1=0$。合っています。

例：二重根号を外す

$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$ を $a+b\sqrt{2}$ の形に書けるか調べます。$a$ と $b$ は有理数とする。

両辺を 2 乗すると $(a+b\sqrt{2}{)}^2=a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}$。これが $3+2\sqrt{2}$ に等しい。

係数を比べて $a^2+2b^2=3$ と $2ab=2$。後者から $ab=1$ です。

$b=\frac{1}{a}$ を入れると $a^2+\frac{2}{a^2}=3$ で、$a^4-3a^2+2=0$。$a^2=1$ または $2$ となり、有理数なのは $a=\pm 1$。

$a=1$、$b=1$ をとると $\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$。左辺は正なので、こちらが答えです。

例：有理化した形で比べる

$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$ を $a+b\sqrt{2}$ の形にします。分母を有理化するのが先。

$$\frac{1}{2+\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{4-2}=1-\frac{1}{2}\sqrt{2}$$

$a=1$、$b=-\frac{1}{2}$ です。$b$ が整数とは限らない点に気をつけます。

例：ルートが 2 種類あるとき

$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}=0$（$a$ から $d$ は有理数）なら、4 つとも $0$ になります。

$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{6}$ のどれも、有理数と残りの根号だけでは作れないためです。

$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$ のような式が成り立たないことも、ここから分かります。2 乗して比べれば $2\sqrt{6}=0$ となり、成り立ちません。

有理数の部分と根号の部分を、別々の等式として読む。根号を含む問題が、ふつうの連立方程式に変わります。

出典