黄金比はなぜ 1.618…になるのか？1 つの比例式から導く

黄金比は $\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.6180339887\dots$ です。$\sqrt{5}$ が出てくるのは、比例式 1 本を 2 次方程式に直したからにすぎません。

出発点は「全体と長いほうの比が、長いほうと短いほうの比に等しい」という 1 行だけ^[1]。そこから値までは数行で着きます。

定義の比例式

線分を長さ $a$ と $b$ の 2 つに分けます。$a>b>0$ とする。

全体は $a+b$ です。この分け方が黄金比になるのは、次が成り立つとき^[1]。

$$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$$

比の値を $x=\frac{a}{b}$ と置きます。左辺は $\frac{a+b}{a}=1+\frac{b}{a}=1+\frac{1}{x}$。

2 次方程式に直す

左辺と右辺を $x$ で書き直すと、次の等式になります。

$$1+\frac{1}{x}=x$$

両辺に $x$ を掛けて整理する。$x+1=x^2$ なので $x^2-x-1=0$ です^[2]。

解の公式に当てると $x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$。判別式が $1+4=5$ なので、$\sqrt{5}$ が現れます。

負の解を捨てる

$\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-0.618\dots$ は負の数です。$x$ は長さの比なので正でなければならない。

したがって答えは $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ に決まります。この値を $\phi$ と書くのがふつうです^[1]。

$\sqrt{5}=2.2360679\dots$ なので $\phi =\frac{3.2360679}{2}=1.6180339\dots$。

逆数が自分から 1 を引いた数になる

$\phi$ には目立つ性質があります^[1,2]。

$$\frac{1}{\phi }=\phi -1$$

$\frac{1}{1.618\dots }=0.618\dots$ で、小数部分がそっくり同じ。もとの方程式 $x^2=x+1$ を $x$ で割れば出ます。

例：べき乗を次数下げで出す

${\phi }^2=\phi +1$ を使って、${\phi }^5$ を求めます。

$$\begin{array}{rl}{\phi }^3& =\phi \cdot {\phi }^2={\phi }^2+\phi =2\phi +1\\ {\phi }^4& =2{\phi }^2+\phi =3\phi +2\\ {\phi }^5& =3{\phi }^2+2\phi =5\phi +3\end{array}$$

係数は $1,1,2,3,5$ と並びます。フィボナッチ数列そのもの。

数値で確かめると ${\phi }^5=11.09017$、$5\phi +3=8.09017+3=11.09017$。合っています。

例：フィボナッチ数列の比

$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144$ と続く数列で、隣どうしの比を出します。

$\frac{89}{55}=1.61818$、$\frac{144}{89}=1.61798$。上下に振れながら $\phi$ に近づきます。

比を $r$ とすると、数列の作り方から $r=1+\frac{1}{r}$。$\phi$ のみたす式と同じ形です。

例：正五角形の対角線

1 辺の長さが $1$ の正五角形で、対角線の長さは $\phi$ になります。

対角線どうしが交わってできる小さな正五角形にも、同じ比が現れる。図形の中で $\phi$ が何度も出てくる理由です。

$\cos 36^{\circ }=\frac{\phi }{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ という関係もここから出ます。

連分数で書く

$\phi =1+\frac{1}{\phi }$ の右辺の $\phi$ に、同じ式をくり返し入れます^[1]。

$$\phi =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots }}}$$

$1$ だけが並ぶ形になります。分数で近づけにくい数の代表として知られる形です。

比例式を $x$ の式に直し、2 次方程式を解く。黄金比の $\sqrt{5}$ は、判別式が $5$ になることだけから来ています。

出典