開平法とニュートン法で電卓なしにルート 2 の桁を出す

紙と鉛筆だけで $\sqrt{2}=1.414213\dots$ が出せます。方法は 2 つあり、どちらも小学校の割り算より難しくありません。

1 つは平均をとってくり返すやり方。もう 1 つは筆算で 1 桁ずつ確定させるやり方です^[1]。

平均をとってくり返す

$x$ が $\sqrt{2}$ より大きいとします。すると $\frac{2}{x}$ は $\sqrt{2}$ より小さい。

掛けると $2$ になる 2 数なので、片方が大きければもう片方は小さくなります。ならば、その平均は真ん中あたり^[1]。

$$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)$$

この式をくり返し当てるだけ。ヘロンの方法、あるいはバビロニアの方法と呼ばれます^[2]。

$y=x^2-2$ にニュートン法を当てても、まったく同じ漸化式が出ます^[1]。呼び名が違うだけで中身は 1 つ。

$x_0=1$ から始めます。$x_1=\frac{1}{2}(1+2)=1.5$。

$x_2=\frac{1}{2}\left(1.5+\frac{2}{1.5}\right)=\frac{17}{12}=1.41667$。$x_3=\frac{577}{408}=1.4142157$。

$x_4$ で $1.414213562$ まで合います^[2]。4 回で小数第 9 位まで届きました。

正しい桁数が倍々に増える

合っている桁数は $1$、$2$、$5$、$9$ と伸びました。1 回ごとにおよそ 2 倍になります^[1]。

$x_n$ の誤差を $e$ とすると、次の誤差はおよそ $\frac{e^2}{2\sqrt{2}}$。誤差の 2 乗で小さくなるので、この伸び方になります。

出発点はどこでもかまいません。$x_0=2$ から始めても、$x_3$ で同じ $\frac{577}{408}$ に着きます^[2]。

例：ルート 5 を 3 回で出す

$x_0=2$ から始めます。$\frac{5}{2}=2.5$ なので $x_1=\frac{1}{2}(2+2.5)=2.25$。

$\frac{5}{2.25}=2.2222$ なので $x_2=2.23611$。$\frac{5}{2.23611}=2.23603$ で $x_3=2.2360680$。

$\sqrt{5}=2.2360680$ です。3 回で小数第 7 位まで合いました。

筆算で 1 桁ずつ出す

もう 1 つのやり方が開平法です。割り算の筆算に似た手順で、上の桁から 1 桁ずつ確定させます^[1]。

小数点から 2 桁ずつ区切り、区切りごとに 1 桁ずつ出す。使う式は $(10p+d{)}^2=100p^2+(20p+d)d$ の後半です。

例：ルート 2 の筆算をたどる

1 回目は $2$ に対して $1^2=1$。商の 1 桁目が $1$ で、余りは $1$ です。

2 回目は $00$ を下ろして $100$。直前の商 $1$ を $2$ 倍して $20$ にし、$(20+d)\times d\le 100$ をみたす最大の $d$ を探します。$d=4$ で $24\times 4=96$。

3 回目は $400$。商 $14$ を $2$ 倍して $280$ とし、$(280+d)\times d\le 400$ から $d=1$。$281\times 1=281$ で余り $119$。

4 回目は $11900$。$(2820+d)\times d\le 11900$ から $d=4$、$2824\times 4=11296$。ここまでで $1.414$ が確定します。

2 つの使い分け

桁をたくさん欲しいならヘロンの方法が速い。5 回も回せば十数桁に届きます^[1]。

上から 2、3 桁でよいなら開平法のほうが確実です。途中で計算を誤っても、確定した桁は残ります。

割り算が面倒なときも開平法が向きます。ヘロンの方法は毎回 $\frac{2}{x_n}$ の割り算が要るためです。

よくある誤り

平均をとってくり返すか、1 桁ずつ確定させるか。どちらも掛け算と割り算だけで、$\sqrt{2}$ の桁がいくらでも出せます。

参考