ルートの不等式は場合分けで切る - 2 乗してよい条件を見きわめる

$\sqrt{x}>x-2$ の解は $0\le x<4$ です。両辺を 2 乗しただけでは、この範囲は出ません。

$x=1$ では右辺が $-1$ で、2 乗すると $1$ に化けます。負のまま 2 乗すると大小がひっくり返る。そこを分けて扱う必要があります。

2 乗は大小の向きを保たない

$-3<2$ は正しい。両辺を 2 乗すると $9>4$ で、向きが変わります。

$2<3$ なら $4<9$ で向きは変わりません。分かれ目は、両辺が $0$ 以上かどうか^[1]。

根号の付いた側はつねに $0$ 以上です。もう一方の符号を確かめてから 2 乗する、という順序になります。

解く手順

まず根号の中が $0$ 以上という条件を書きます。次に、根号でないほうの符号で場合を分ける。

負になる場合は、2 乗せずに大小が決まります。根号側が $0$ 以上、相手が負なら、それだけで大小が確定する。

例：右辺が正でなければならない形

$\sqrt{x+2}<x$ を解きます。根号の中から $x\ge -2$。

左辺は $0$ 以上なので、右辺はそれより大きい。$x>0$ が必要です。

両辺とも正なので 2 乗できます。$x+2<x^2$、$x^2-x-2>0$、$(x-2)(x+1)>0$。

解は $x<-1$ または $x>2$。$x>0$ と重ねて、答えは $x>2$ です。

例：場合分けが要る形

$\sqrt{x}>x-2$ を解きます。根号の中から $x\ge 0$。右辺の符号で 2 つに分けます。

$0\le x<2$ のとき、右辺は負。左辺は $0$ 以上なので、いつでも成り立ちます。

$x\ge 2$ のとき、両辺とも $0$ 以上なので 2 乗して $x>x^2-4x+4$。整理すると $x^2-5x+4<0$ で、$(x-1)(x-4)<0$ から $1<x<4$。

$x\ge 2$ と重ねて $2\le x<4$。2 つの場合を合わせて、答えは $0\le x<4$ です。

境目の $x=4$ では $\sqrt{4}=2$、右辺も $2$。等号が付かない不等式なので、解には入りません。

例：等号が付く形

$\sqrt{x-1}\le x-3$ を解きます。根号の中から $x\ge 1$。

左辺は $0$ 以上なので、右辺も $0$ 以上でなければなりません。$x\ge 3$ が要ります。

2 乗して $x-1\le x^2-6x+9$、$x^2-7x+10\ge 0$、$(x-2)(x-5)\ge 0$。$x\le 2$ または $x\ge 5$。

$x\ge 3$ と重ねて、答えは $x\ge 5$。$x=5$ では $\sqrt{4}=2$ と $5-3=2$ で等号が成り立ちます。

グラフで確かめる

$y=\sqrt{x}$ と $y=x-2$ を描くと、交わるのは $x=4$ の 1 点だけです。

交点より左では $\sqrt{x}$ が上にあります。右では下。だから解は $0\le x<4$ になります。

グラフは検算に向きます。場合分けの結果とグラフの見た目が食い違えば、どこかに誤りがある。

答えを確かめる

範囲の内側と外側から 1 つずつ選んで代入します。$x=1$ なら $\sqrt{1}=1>-1$ で成立。

$x=5$ なら $\sqrt{5}=2.24$ と $5-2=3$ で、$2.24>3$ は成り立ちません。範囲の外だと確かめられました。

境目も見ます。$x=4$ で両辺が $2$ になり、等号のない不等式では解に入らない。

よくある誤り

符号を確かめてから 2 乗し、場合ごとの結果を最後に重ねる。この順番なら、範囲が反転する事故は起きません。

出典