2 乗すると解が増える〜ルートを含む方程式の解き方と検算

$\sqrt{x+2}=x$ の両辺を 2 乗すると、$x=2$ と $x=-1$ が出ます。正しいのは $x=2$ だけです。

$x=-1$ を戻すと左辺は $\sqrt{1}=1$、右辺は $-1$。一致しません。2 乗した時点で、もとの方程式にない解が紛れ込んでいます^[1]。

2 乗は同値変形ではない

$a=b$ なら $a^2=b^2$ は正しい。逆は成り立ちません。$a^2=b^2$ からは $a=b$ と $a=-b$ の両方が出ます。

だから 2 乗して解いた結果は、もとの方程式の解の候補にすぎない。必要条件を集めた形です。

根号の側は $0$ 以上と決まっているのに、2 乗すると符号の情報が消えます。ここが増える理由^[1]。

左のグラフで交わるのは 1 か所だけ。右では 2 か所になり、増えたほうが $x=-1$ です。

解く手順

2 乗して出た候補を、必ずもとの式に戻して確かめます。ここまでが解答の一部^[1]。

右辺の符号を先に見ておく手もあります。$\sqrt{}=x$ なら左辺が $0$ 以上なので、$x\ge 0$ が必要です。

例：右辺が文字だけ

$\sqrt{x+2}=x$ を解きます。根号の中から $x\ge -2$、左辺が $0$ 以上だから $x\ge 0$。

2 乗して $x+2=x^2$、$x^2-x-2=0$、$(x-2)(x+1)=0$。候補は $x=2$ と $x=-1$。

$x\ge 0$ から $x=-1$ は落ちます。$x=2$ を戻すと $\sqrt{4}=2$ で成り立つ。答えは $x=2$ です。

例：係数が付く場合

$\sqrt{2x+3}=x$ です。条件は $x\ge -\frac{3}{2}$ と $x\ge 0$。

2 乗して $2x+3=x^2$、$x^2-2x-3=0$、$(x-3)(x+1)=0$。候補は $3$ と $-1$。

$x=3$ だけが残ります。$\sqrt{9}=3$ で確かめられました。

例：右辺が 1 次式

$\sqrt{x+7}=x+1$ を解きます。右辺が $0$ 以上でなければならないので $x\ge -1$。

2 乗すると $x+7=x^2+2x+1$、整理して $x^2+x-6=0$。$(x-2)(x+3)=0$ から候補は $2$ と $-3$。

$x\ge -1$ より $x=-3$ は落ちます。$x=2$ では $\sqrt{9}=3$、右辺も $3$。答えは $x=2$。

例：根号が 2 つある場合

$\sqrt{x}+\sqrt{x-5}=5$ を解きます。根号が 2 つあるので、1 つずつ処理します。

片方を移項してから 2 乗する。残った根号を、もう一度 2 乗して消します。

$x=9$ を戻すと $\sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5$。成り立ちました。

根号の中の条件は $x\ge 0$ と $x\ge 5$ で、合わせて $x\ge 5$。$9$ はこれをみたします。

例：解が 1 つもない場合

$\sqrt{1-x}=x-3$ を考えます。根号の中から $x\le 1$、右辺が $0$ 以上だから $x\ge 3$。

この 2 つを同時にみたす $x$ はありません。2 乗する前に、解なしと分かります。

2 乗して進めると $x^2-5x+8=0$ が出て、判別式が負。こちらでも解なしですが、条件から先に見たほうが速い。

つまずきやすいところ

2 乗して候補を出し、条件と代入でふるいにかける。この 2 段構えが、根号を含む方程式の解き方です。

参考文献