条件つき等式は文字を 1 つ消してから示す

$a+b+c=0$ のとき $a^3+b^3+c^3=3abc$ が成り立ちます。この形の証明で使う手は $1$ つ、条件式から文字を $1$ つ消すことです。

$c=-a-b$ を左辺に入れます。

$$a^3+b^3+(-a-b{)}^3=a^3+b^3-(a+b{)}^3$$

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ を引くと $-3a^{2}b-3a{b}^2=-3ab(a+b)$。いっぽう右辺は $3ab\cdot (-a-b)=-3ab(a+b)$ で、同じものになりました。

文字が $3$ つあっても、条件式が $1$ 本あれば自由に動くのは $2$ つだけ。$1$ 文字を追い出せば、条件なしの等式に変わります。

消す文字を選ぶ

どれを消しても証明はできますが、手間は変わります。目安は $2$ つ。

$a+b+c=0$ のように対称な条件なら、どれを選んでも同じ。$2a+b=3$ のように係数が違うなら、係数 $1$ の文字を消すほうが分数を避けられます。

両辺を別々に変形する

消去したあとは、左辺と右辺をそれぞれ独立に変形して、同じ形に着地させます。

等式の証明では、左辺と右辺を等号でつないだまま移項していく書き方を避けます。証明したい等式を最初から使ってしまうため。片方ずつ整理して、最後に「よって左辺 $=$ 右辺」と締める形が安全です。

差をとって $0$ を示す道もあります。$(\text{左辺})-(\text{右辺})$ を計算して $0$ になれば証明完了。式が複雑なときはこちらが速い。

条件が比の形のとき

$a:b=c:d$ のように比で与えられた条件も、文字を消す方針で通せます。$ad=bc$ に直してから $1$ 文字を追い出す。

ただし比の条件には、もっと相性のよい扱い方があります。$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ とまとめて置く方法で、そちらは文字を消すのではなく増やす向きの工夫です。

分数式が条件のとき

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$ のような条件は、分母を払って $bc+ca+ab=0$ に直してから使います。分数のまま代入すると式が膨らむ。

このとき $a$, $b$, $c$ はどれも $0$ でないことが前提に入っています。答案では「$a$, $b$, $c$ はいずれも $0$ でない」と書いておく。条件式が分数で与えられた時点で決まっている事実ですが、明記しておくと途中の変形が正当化されます。

$a$ と $b$ をどう動かしても、$c$ は $a+b$ の反対側へ自動的に決まります。青い棒と灰色の棒はいつも同じ長さで向きが逆。これが $c=-a-b$ の姿です。

手順をまとめる

条件つき等式の証明は、次の $3$ 手で片づきます。

代入したあとは、条件のない普通の等式変形。難しさは最初の $1$ 手にしかありません。どの文字を消すか、その判断だけが計算量を左右します。