展開式の特定の項の係数を求める（一般項で拾う）

$(x+2{)}^{10}$ の $x^3$ の係数を出すのに、$10$ 乗を展開する必要はありません。展開式の中からその項だけをとり出す式があります。

$$(a+b{)}^n\text{ の一般項}={}_n{\mathrm{C}}_r{a}^{n-r}{b}^r$$

$r$ を $0$ から $n$ まで動かすと、すべての項が出てきます。欲しい項に対応する $r$ を見つけて、そこだけ計算する。

$(x+2{)}^{10}$ なら $a=x$, $b=2$, $n=10$ なので一般項は ${}_{10}{\mathrm{C}}_r{x}^{10-r}{2}^r$。$x^3$ が欲しいので $10-r=3$、つまり $r=7$ です。

$${}_{10}{\mathrm{C}}_7\cdot 2^7=120\times 128=15360$$

$r$ を動かすと、$x$ の指数が $10$ から $0$ まで下がっていきます。欲しい指数に対応する棒が $1$ 本だけ決まる。ほかの $10$ 本は計算せずに済みます。

指数が下がる形

${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^8$ のように、$b$ にも $x$ が入る場合は指数の数え方が変わります。一般項を書いてから、$x$ の指数を $r$ の式で表す。

$${}_8{\mathrm{C}}_r{x}^{8-r}{\left(\frac{1}{x}\right)}^r={}_8{\mathrm{C}}_r{x}^{8-2r}$$

定数項が欲しいなら $8-2r=0$ から $r=4$。係数は ${}_8{\mathrm{C}}_4=70$ です。

$x^2$ の係数なら $8-2r=2$ で $r=3$、${}_8{\mathrm{C}}_3=56$。指数が $2$ ずつ飛ぶので、奇数乗の項は現れません。

分数や係数が混じる形

${\left(2x-\frac{3}{x^2}\right)}^6$ を見てみます。一般項は次のようになります。

$${}_6{\mathrm{C}}_r(2x{)}^{6-r}{\left(-\frac{3}{x^2}\right)}^r={}_6{\mathrm{C}}_r{2}^{6-r}(-3{)}^r{x}^{6-3r}$$

定数項は $6-3r=0$ から $r=2$。係数は ${}_6{\mathrm{C}}_2\cdot 2^4\cdot 9=15\times 16\times 9=2160$ です。

符号を落とさないこと。$(-3{)}^r$ は $r$ が奇数のとき負になります。$b$ に付いたマイナスは $r$ 乗されるので、$r$ の偶奇で符号が変わる。

指数は $6,3,0,-3,\dots$ と $3$ ずつ落ちていきます。$0$ の高さを通るのは $1$ 回だけ。定数項が $1$ つしかない理由がこれです。

存在しない場合もある

${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^7$ の定数項を探します。一般項の $x$ の指数は $14-3r$。

$14-3r=0$ を解くと $r=\frac{14}{3}$ で、整数になりません。$r$ は $0$ から $7$ までの整数しかとらないので、定数項は存在しない。

「$r$ が整数にならないので、その項は存在しない」と書けば答えになります。無理に近い値を探さない。

係数の和を出す

すべての係数を足した値なら、一般項を使うより速い手があります。$x=1$ を代入するだけ。

$(2x-1{)}^5$ の係数の総和は $(2\cdot 1-1{)}^5=1$。$x^0$ の項まで含めた全部の和がこれで出ます。

$x$ の偶数乗だけの係数の和なら、$x=1$ と $x=-1$ の値を足して $2$ で割る。奇数乗だけなら引いて $2$ で割ります。展開せずに済む定番の手です。