展開式の特定の項の係数を求める（一般項で拾う）

$(x + 2)^{10}$ の $x^{3}$ の係数を出すのに、 $10$ 乗を展開する必要はありません。展開式の中からその項だけをとり出す式があります。

$(a + b)^{n} の一般項 =_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r}$

$r$ を $0$ から $n$ まで動かすと、すべての項が出てきます。欲しい項に対応する $r$ を見つけて、そこだけ計算する。

$(x + 2)^{10}$ なら $a = x$ , $b = 2$ , $n = 10$ なので一般項は $_{10} C_{r} x^{10 - r} 2^{r}$ 。 $x^{3}$ が欲しいので $10 - r = 3$ 、つまり $r = 7$ です。

$_{10} C_{7} \cdot 2^{7} = 120 \times 128 = 15360$

$r$ を動かすと、 $x$ の指数が $10$ から $0$ まで下がっていきます。欲しい指数に対応する棒が $1$ 本だけ決まる。ほかの $10$ 本は計算せずに済みます。

指数が下がる形

$(x + \frac{1}{x})^{8}$ のように、 $b$ にも $x$ が入る場合は指数の数え方が変わります。一般項を書いてから、 $x$ の指数を $r$ の式で表す。

$_{8} C_{r} x^{8 - r} (\frac{1}{x})^{r} =_{8} C_{r} x^{8 - 2 r}$

定数項が欲しいなら $8 - 2 r = 0$ から $r = 4$ 。係数は $_{8} C_{4} = 70$ です。

$x^{2}$ の係数なら $8 - 2 r = 2$ で $r = 3$ 、 $_{8} C_{3} = 56$ 。指数が $2$ ずつ飛ぶので、奇数乗の項は現れません。

分数や係数が混じる形

$(2 x - \frac{3}{x ^{2}})^{6}$ を見てみます。一般項は次のようになります。

$_{6} C_{r} (2 x)^{6 - r} (- \frac{3}{x ^{2}})^{r} =_{6} C_{r} 2^{6 - r} (- 3)^{r} x^{6 - 3 r}$

定数項は $6 - 3 r = 0$ から $r = 2$ 。係数は $_{6} C_{2} \cdot 2^{4} \cdot 9 = 15 \times 16 \times 9 = 2160$ です。

符号を落とさないこと。 $(- 3)^{r}$ は $r$ が奇数のとき負になります。 $b$ に付いたマイナスは $r$ 乗されるので、 $r$ の偶奇で符号が変わる。

指数は $6, 3, 0, - 3, \dots$ と $3$ ずつ落ちていきます。 $0$ の高さを通るのは $1$ 回だけ。定数項が $1$ つしかない理由がこれです。

存在しない場合もある

$(x^{2} + \frac{1}{x})^{7}$ の定数項を探します。一般項の $x$ の指数は $14 - 3 r$ 。

$14 - 3 r = 0$ を解くと $r = \frac{14}{3}$ で、整数になりません。 $r$ は $0$ から $7$ までの整数しかとらないので、定数項は存在しない。

「 $r$ が整数にならないので、その項は存在しない」と書けば答えになります。無理に近い値を探さない。

係数の和を出す

すべての係数を足した値なら、一般項を使うより速い手があります。 $x = 1$ を代入するだけ。

$(2 x - 1)^{5}$ の係数の総和は $(2 \cdot 1 - 1)^{5} = 1$ 。 $x^{0}$ の項まで含めた全部の和がこれで出ます。

$x$ の偶数乗だけの係数の和なら、 $x = 1$ と $x = - 1$ の値を足して $2$ で割る。奇数乗だけなら引いて $2$ で割ります。展開せずに済む定番の手です。

10 乗を展開しなくても、一般項 nCr a^(n-r) b^r から欲しい項だけ取り出せます。x の指数を r の式で表し、目標の指数と等しくなる r を解くだけ。b にも x が入ると指数が 2 ずつ 3 ずつ飛び、定数項が存在しない場合も出てきます。符号のあつかいと、係数の総和を x = 1 で出す手まで。