高校数学の多項定理〜展開の係数は同じものを含む順列で決まる

$(a+b+c{)}^n$ を展開したときの係数は、次の式で決まります。

$$\frac{n!}{p!q!r!}{a}^p{b}^q{c}^r(p+q+r=n)$$

多項定理です。$2$ 項のときの ${}_n{\mathrm{C}}_r$ が、$3$ 項では階乗の商に置きかわります。

なぜ階乗の商になるのか

$(a+b+c{)}^n$ は、$(a+b+c)$ を $n$ 個並べて掛けたもの。展開の各項は、$n$ 個の括弧から $a$, $b$, $c$ のどれかを $1$ つずつ選んだ結果です。

$a^p{b}^q{c}^r$ という項が何回現れるかは、$n$ 個の括弧のうち $a$ を選ぶ $p$ 個、$b$ を選ぶ $q$ 個、$c$ を選ぶ $r$ 個の分け方の総数にあたります。

これは $n$ 個の文字を並べる順列で、同じものが $p$ 個、$q$ 個、$r$ 個あるときの場合の数。答えが $\frac{n!}{p!q!r!}$ です。

$5$ つの括弧から $a$, $a$, $b$, $b$, $c$ を選ぶ並べ方が切り替わっていきます。どの並べ方も同じ $a^2{b}^{2}c$ になる。その総数が係数です。

係数を求める

$(x+y+z{)}^7$ における $x^2{y}^3{z}^2$ の係数を出します。$p=2$, $q=3$, $r=2$ で、合計が $7$ になっている。

$$\frac{7!}{2!3!2!}=\frac{5040}{2\times 6\times 2}=210$$

指数の和が $n$ に一致するかを最初に確かめます。合わなければ、その項は展開式に現れません。

係数が付いている場合

$(2x-y+3z{)}^6$ の $x^2{y}^2{z}^2$ の係数を求めます。文字だけでなく、前に付いた数も $p$, $q$, $r$ 乗されます。

$$\frac{6!}{2!2!2!}\cdot 2^2\cdot (-1{)}^2\cdot 3^2=90\times 4\times 1\times 9=3240$$

$\frac{6!}{2!2!2!}=90$ が分け方の数、残りが係数の積。マイナスは $2$ 乗で消えました。$y$ の指数が奇数なら符号が残ります。

$3$ 項の場合、係数は三角形に並びます。$2$ 項のパスカルの三角形が $1$ 列だったのに対して、こちらは平面に広がる。$n=4$ なら $15$ 個の項が現れます。

項の個数

$(a+b+c{)}^n$ の展開項は、$p+q+r=n$ を満たす $0$ 以上の整数の組の個数だけあります。

これは重複組み合わせで、${}_{n+2}{\mathrm{C}}_2$ 個。$n=4$ なら ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 個で、上の図と合います。

項の数だけなら、係数を計算せずに出せます。

二項定理に戻して解く道

多項定理を覚えていなくても、$2$ 段階に分ければ二項定理で処理できます。$(a+b+c{)}^n$ を $\{(a+b)+c{\}}^n$ と見る。

$$\{(a+b)+c{\}}^n=\sum _r{}_n{\mathrm{C}}_r(a+b{)}^{n-r}{c}^r$$

$c$ の指数が決まれば、残りの $(a+b{)}^{n-r}$ にもう一度二項定理を当てるだけ。$2$ 回の ${}_n{\mathrm{C}}_r$ を掛け合わせた値が、階乗の商と一致します。

$(x+y+z{)}^7$ の $x^2{y}^3{z}^2$ なら ${}_7{\mathrm{C}}_2\times {}_5{\mathrm{C}}_3=21\times 10=210$。さきほどの答えと同じです。

4 項以上でも同じ

項が増えても形は変わりません。$(a+b+c+d{)}^n$ なら $\frac{n!}{p!q!r!s!}$ で、$p+q+r+s=n$。

分母に階乗が $1$ つ増えるだけ。同じものを含む順列の公式が、そのまま係数になっているという構造は共通です。