組立除法のやり方と仕組み（高校数学の整式の割り算）

$1$ 次式で割るときに限り、筆算を係数だけの表に置きかえられます。組立除法です。

$x^3-2x^2-5x+6$ を $x-1$ で割ってみます。書き出すのは係数の $1,-2,-5,6$ と、割る式から作る $1$ の $2$ 種類だけ。

手順は $3$ 段だけです。

下の段に並んだ $1,-1,-6,0$ のうち、右端の $0$ が余り、残りの $1,-1,-6$ が商の係数です。商は $x^2-x-6$、余りは $0$ になります。

割る式から何を書くか

左に置く数は、割る式 $x-a$ の $a$ です。符号に気をつける。

$3$ 番目のように最高次の係数が $1$ でないときは、そのままでは商がずれます。$2x-3=2\left(x-\frac{3}{2}\right)$ なので、組立除法で出た商を $2$ で割る必要がある。余りのほうはそのままで正しい値です。

抜けている次数を 0 で埋める

$x^3+2x-5$ のように途中の次数が抜けている式は、係数を $1,0,2,-5$ と書きます。$x^2$ の係数 $0$ を飛ばすと、桁がずれて答えが変わる。

書き出す前に「最高次から定数項まで、次数が $1$ ずつ下がって並んでいるか」を確かめる。組立除法でいちばん多い誤りがここです。

なぜ動くのか

魔法ではありません。筆算で起きていることを、係数だけで書き写しているだけです。

$P(x)=(x-a)Q(x)+r$ とし、$Q(x)=b_2{x}^2+b_{1}x+b_0$ と置きます。右辺を展開して $P(x)=x^3+c_2{x}^2+c_{1}x+c_0$ と係数を比べる。

$$b_2=1,b_1=c_2+a{b}_2,b_0=c_1+a{b}_1,r=c_0+a{b}_0$$

「$1$ つ前の結果に $a$ を掛けて、上の係数に足す」という同じ操作が繰り返されています。表の縦の足し算が、この式そのものです。

同じ $4$ 段が繰り返されるだけの手続きです。$1$ 周ごとに係数が $1$ つ確定していきます。

いつ使うか

$1$ 次式で割る場面に限られます。$2$ 次式以上で割るときは普通の筆算に戻る。

高次方程式を解くとき、因数定理で $1$ つ解を見つけたあとの割り算に使うのが定番です。$3$ 次式なら $1$ 回、$4$ 次式なら $2$ 回まわして次数を下げていく。

筆算と比べて書く量が半分以下になります。速さより、書き間違いが減ることのほうが大きい。