不等式の証明は差をとって平方に持ち込む

$A\ge B$ を示したいとき、まず $A-B$ を作ります。差が $0$ 以上であることが言えれば、それがそのまま証明になる。

$$A\ge B⟺A-B\ge 0$$

引き算に直したあとの仕事は、その式が $0$ 以上だと分かる形に書き換えることです。使える形は多くありません。

平方に持ち込めるかどうかが勝負どころ。$2$ 次式なら平方完成、複数文字なら文字ごとに平方をまとめます。

例で流れをつかむ

$a^2+b^2\ge 2ab$ を示します。差をとると

$$a^2+b^2-2ab=(a-b{)}^2\ge 0$$

これで終わりです。等号が成り立つのは $(a-b{)}^2=0$、つまり $a=b$ のとき。

$a-b$ をどう動かしても、曲線は軸より下へ行きません。触れるのは $a=b$ の $1$ 点だけ。$2$ 乗が $0$ 以上であるとは、この絵のことです。

平方が 1 つで足りないとき

文字が $2$ つ以上あると、$1$ つの平方に押し込めない場合があります。そのときは平方を並べます。

$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ を示してみる。差を $2$ 倍してから整理します。

$$2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$$

右辺は $2$ 乗の和なので $0$ 以上。$2$ で割って、もとの不等式が出ます。

$2$ 倍したのは、$a^2$ を $2$ つの平方で分け合わせるためです。$a^2+b^2-2ab$ と $a^2+c^2-2ca$ の両方に $a^2$ が要る。この「$2$ 倍してから」は、対称式の証明で繰り返し出てきます。

等号は $a=b$ かつ $b=c$ かつ $c=a$、つまり $3$ つとも等しいとき。平方の和が $0$ になるには、すべての平方が同時に $0$ でなければなりません。

$3$ 本のバーが同時に $0$ になる瞬間は、めったに訪れません。等号成立条件が厳しくなるのは、平方の数だけ条件が重なるためです。

平方に持ち込めないとき

すべてが平方で片づくわけではありません。よく使う逃げ道が $2$ つあります。

ひとつは因数分解。差が $(a-b)(a+b+1)$ のような積になり、各因数の符号が条件から分かるなら、それで済みます。

もうひとつは両辺を $2$ 乗する方法。ただし使えるのは両辺とも $0$ 以上のときだけ。根号や絶対値が入った不等式で効きます。$A\ge 0$, $B\ge 0$ なら $A\ge B⟺A^2\ge B^2$ が成り立つので、根号を外してから差をとれます。

$2$ 乗する前に「両辺とも $0$ 以上である」と書く。この $1$ 行を落とすと、証明が成立しません。

等号成立を必ず書く

不等式の証明は、$0$ 以上を示して終わりではありません。等号がいつ成り立つかまで書いて完成です。

平方の形にしてあれば、その中身が $0$ になる条件を書くだけ。$(a-b{)}^2$ なら $a=b$、平方の和なら全部が同時に $0$ になる条件。

最大最小の問題では、この等号成立条件が答えそのものになります。証明問題で習慣にしておくと、最小値を問われたときに手が止まりません。