因数定理 - P(a) = 0 なら x - a で割り切れる

整式 $P(x)$ について、次が成り立ちます。

$$P(a)=0⟺P(x)\text{ は }(x-a)\text{ で割り切れる}$$

因数定理です。$1$ 点での値を調べるだけで、因数を持つかどうかが分かる。

剰余の定理から一歩

$P(x)$ を $1$ 次式 $(x-a)$ で割った商を $Q(x)$、余りを $r$ とすると

$$P(x)=(x-a)Q(x)+r$$

$1$ 次式で割った余りは定数なので、$r$ に文字は入りません。ここに $x=a$ を代入すると第 $1$ 項が消えて $P(a)=r$。

割り切れるとは余りが $0$ ということ。$r=P(a)$ なので、$P(a)=0$ と割り切れることが同じになります。

グラフが $x$ 軸と交わる点が、そのまま $1$ 次因数の位置です。交点が動けば因数も動く。因数定理は、この見た目の事実を式として書いたものになります。

高次式の因数分解に使う

$P(x)=x^3-2x^2-5x+6$ を因数分解します。手当たりしだいに試すのではなく、候補を絞ってから代入する。

$P(x)$ が $(x-a)$ を因数に持つなら、定数項 $6$ は $a$ で割り切れるはずです。したがって $a$ の候補は $6$ の約数、$\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$ に限られます。

小さいものから試すと $P(1)=1-2-5+6=0$。$(x-1)$ が因数だと決まりました。割り算して

$$P(x)=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)$$

残った $2$ 次式は普通に因数分解できます。$1$ つ因数が見つかれば、あとは次数が下がって楽になる。

候補の絞り方

最高次の係数が $1$ でないときは、候補が少し広がります。$P(x)=2x^3+\cdots +3$ のような形なら、有理数の候補は次のようになります。

$$\pm \frac{\text{定数項の約数}}{\text{最高次の係数の約数}}$$

$\pm 1,\pm 3,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{3}{2}$ の $8$ 通り。それでも無限に試すよりはるかに短い。

整数の候補から先に試すのが定石です。分数の候補まで降りるのは、整数がすべて外れてからでよい。

候補を左から順に代入し、値が $0$ になったものが因数です。$8$ 個を全部試しても手間は知れています。当たりを引いたら、そこで割り算に移る。

割り切れる条件を作る

因数定理は、逆向きに使うこともできます。「割り切れるように定数を定めよ」という問題です。

$P(x)=x^3+a{x}^2-4x+b$ が $(x-1)(x+2)$ で割り切れるとします。$2$ つの $1$ 次式それぞれで割り切れるので、$P(1)=0$ と $P(-2)=0$ が同時に成り立つ。

$$P(1)=1+a-4+b=0,P(-2)=-8+4a+8+b=0$$

$a+b=3$ と $4a+b=0$ を解いて $a=-1$, $b=4$ です。割り算を実行せずに、代入だけで決まりました。

重解になるとき

$(x-a{)}^2$ で割り切れる条件は、$P(a)=0$ だけでは足りません。$P(x)=(x-a{)}^{2}Q(x)$ と書けることが必要です。

高校の範囲では、$P(x)$ を $(x-a{)}^2$ で割った余りを $px+q$ と置き、$p=q=0$ となる条件を出す形で処理します。あるいは $P(a)=0$ から $1$ 次因数をとり出し、残った商にもう一度 $x=a$ を入れて $0$ になるかを見る。

グラフでは、$x$ 軸と交わらずに接する点が重解にあたります。交点が $2$ つ重なった状態です。