コーシー・シュワルツの不等式（内積で読む）

実数 $a$, $b$, $x$, $y$ に対して、次が成り立ちます。

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2$$

コーシー・シュワルツの不等式です。左辺は $2$ 乗和どうしの積、右辺は掛けて足したものの $2$ 乗。等号が立つのは $ay=bx$、つまり $a:b=x:y$ のときです。

差をとると平方が残る

証明は展開して引くだけ。左辺を展開すると $a^2{x}^2+a^2{y}^2+b^2{x}^2+b^2{y}^2$、右辺は $a^2{x}^2+2abxy+b^2{y}^2$。差をとります。

$$a^2{y}^2-2abxy+b^2{x}^2=(ay-bx{)}^2\ge 0$$

きれいに $2$ 乗が残りました。等号は $ay-bx=0$ のとき。

内積で読むと意味が見える

$\vec{p}=(a,b)$, $\vec{q}=(x,y)$ と置くと、この不等式は内積の話になります。

$$|\vec{p}{|}^2|\vec{q}{|}^2\ge (\vec{p}\cdot \vec{q}{)}^2$$

内積は $\vec{p}\cdot \vec{q}=|\vec{p}||\vec{q}|\cos \theta$ なので、右辺は $|\vec{p}{|}^2|\vec{q}{|}^2{\cos }^2\theta$。${\cos }^2\theta \le 1$ だから成り立つ、というだけの話です。

等号は ${\cos }^2\theta =1$、つまり $2$ つのベクトルが平行なとき。$a:b=x:y$ という条件は、平行を成分で書いたものでした。

$2$ 本のベクトルが開くにつれて、下のバーが縮みます。バーの右端が $|\vec{p}||\vec{q}|$、いまの長さが $|\vec{p}\cdot \vec{q}|$。重なったときだけ右端に届く。

判別式でも示せる

もう $1$ つの証明を挙げます。実数 $t$ についての $2$ 次式を作る方法です。

$$f(t)=(at-x{)}^2+(bt-y{)}^2$$

$2$ 乗の和なので、どんな $t$ でも $f(t)\ge 0$。展開すると $t$ の $2$ 次式になります。

$$f(t)=(a^2+b^2)t^2-2(ax+by)t+(x^2+y^2)$$

$2$ 次係数が正で、すべての $t$ で $0$ 以上。したがって判別式が $0$ 以下です。

$$(ax+by{)}^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)\le 0$$

移項すればコーシー・シュワルツの形。等号は $f(t)=0$ となる $t$ が存在するとき、つまり $at=x$ かつ $bt=y$ を満たす $t$ があるときです。

この道筋は文字が増えても通用します。$n$ 個の場合でも同じ $2$ 次式を作れば示せる。

最大最小に使う

$x^2+y^2=1$ のとき $3x+4y$ の最大値を求めます。$(a,b)=(3,4)$ と見て当てはめる。

$$(3^2+4^2)(x^2+y^2)\ge (3x+4y{)}^2$$

左辺は $25\cdot 1=25$ なので $(3x+4y{)}^2\le 25$、よって $-5\le 3x+4y\le 5$。最大値は $5$ です。

等号は $3y=4x$ かつ $x^2+y^2=1$ から $\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$ のとき。三角関数で置きかえる解き方より短く済みます。

単位円を $1$ 周させると、$3x+4y$ の値が $-5$ と $5$ のあいだを行き来します。薄い線は $(3,4)$ の向き。点がその向きに来たときだけ、バーが端に届きます。

使いどころの見分け

コーシー・シュワルツが効くのは、$2$ 乗和が条件に、$1$ 次式が目標に現れる問題です。$x^2+y^2=1$ のもとで $ax+by$ を評価する形が典型。

逆向きもあります。$x+y=1$ のもとで $x^2+y^2$ の最小値を求める問題なら、$(1^2+1^2)(x^2+y^2)\ge (x+y{)}^2=1$ から $x^2+y^2\ge \frac{1}{2}$。等号は $x=y=\frac{1}{2}$ です。

どちらに使うかは、条件と目標のどちらが $2$ 乗和かを見て決めます。