絶対値を含む不等式の証明｜三角不等式

実数 $a$, $b$ について、次が成り立ちます。

$$|a+b|\le |a|+|b|$$

足してから絶対値をとった値は、絶対値をとってから足した値を超えません。向きが逆の $2$ 数を足すと打ち消し合うため、左辺のほうが小さくなり得る。

2 乗して差をとる

絶対値は場合分けの元ですが、この不等式は場合分けなしで示せます。両辺とも $0$ 以上なので、$2$ 乗して比べてよい。

$$(|a|+|b|{)}^2-|a+b{|}^2=a^2+2|a||b|+b^2-(a+b{)}^2$$

$|a{|}^2=a^2$ と $|a+b{|}^2=(a+b{)}^2$ を使いました。展開して整理すると

$$2|a||b|-2ab=2(|ab|-ab)$$

$|ab|\ge ab$ はつねに成り立ちます。$ab$ が正なら等しく、負なら $|ab|$ のほうが大きい。よって差は $0$ 以上で、証明が終わります。

等号が立つのは $|ab|=ab$、つまり $ab\ge 0$ のとき。$a$ と $b$ が同符号か、どちらかが $0$ のときです。

$b$ が正のあいだ、$2$ 本のバーは同じ長さです。$b$ が負に転じると青いバーだけが縮む。行って戻る動きが、そのまま打ち消し合いにあたります。

下からの評価もある

上限があれば下限も気になります。同じ不等式を組みかえると出てきます。

$$||a|-|b||\le |a-b|$$

導き方は使い回しです。$a=(a-b)+b$ と見て三角不等式を当てると $|a|\le |a-b|+|b|$、つまり $|a|-|b|\le |a-b|$。

$a$ と $b$ を入れ替えれば $|b|-|a|\le |b-a|=|a-b|$ も出ます。$2$ つ合わせて絶対値の形になる。

3 つ以上に伸ばす

項が増えても形は変わりません。

$$|a+b+c|\le |a|+|b|+|c|$$

$2$ 項の場合を繰り返し当てるだけ。$|a+b+c|\le |a+b|+|c|\le |a|+|b|+|c|$ と、$2$ 段で届きます。

等号が立つのは $3$ つが同じ向きにそろったとき。$1$ つでも逆を向いていれば、そのぶん左辺が縮みます。

$3$ 本を継いで歩いた総距離が上のバー、出発点から到着点までの距離が下のバーです。途中で引き返せば、着いた地点は近くなる。

数直線で読む

$|a-b|$ は数直線上での $2$ 点間の距離です。この見方に立つと、三角不等式は $3$ 点についての言いかえになります。

$$|a-c|\le |a-b|+|b-c|$$

$a$ から $c$ へ直接行く距離は、$b$ を経由する距離を超えません。寄り道は近道より短くならない、という当たり前の事実です。

$b$ が $a$ と $c$ のあいだにあるときだけ等号。外にあれば、そのぶん遠回りになります。

場合分けが要る場面

証明ではなく、絶対値を含む不等式を解くときは話が別です。$|x-1|+|x+2|\le 5$ のような問題では、絶対値の中身が変わる点で区切って場合分けします。

区切りは $x=1$ と $x=-2$。$3$ つの区間それぞれで絶対値を外し、解いた結果をその区間と照らし合わせる。

証明では $2$ 乗して逃げられても、解く場面では中身の符号を追う必要があります。この $2$ つを混同しないでおくと、方針が定まりやすい。