恒等式と方程式はどこが違うか｜係数比較法

$2x+3=7$ が成り立つのは $x=2$ のときだけです。いっぽう $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$ は、$x$ に何を入れても成り立つ。

前者が方程式、後者が恒等式です。等号が並んでいる見た目は同じでも、意味するものが違います。方程式は「この値のときだけ釣り合う」、恒等式は「いつでも釣り合う」。

左は $2$ 本のグラフが $2$ 点で交わるだけ。その $x$ が方程式の解です。右は $2$ 本が完全に重なっているので、どこを見ても両辺が同じ値になります。

すべての x で成り立つ、をどう扱うか

「すべての $x$ で成り立つ」を、$x$ を $1$ つずつ試して確かめるわけにはいきません。そこで次の性質を使います。

$$a{x}^2+bx+c=0\text{がすべての }x\text{ で成り立つ}⟺a=b=c=0$$

理由は簡単です。$x=0$ を入れると $c=0$。残った $a{x}^2+bx=0$ に $x=1$, $x=-1$ を入れると $a+b=0$ と $a-b=0$ が出て、$a=b=0$ が決まります。

逆にすべての係数が $0$ なら、どんな $x$ でも左辺は $0$。同値です。

係数比較法

$2$ つの整式が恒等的に等しいなら、移項した差がすべての $x$ で $0$。上の性質から、同じ次数の係数どうしが一致することになります。

これが係数比較法です。次の等式が $x$ についての恒等式になるよう $a$, $b$, $c$ を定めます。

$$2x^2+3x-1=a(x-1{)}^2+b(x-1)+c$$

右辺を展開して $x$ の降べきに整理します。

$$a{x}^2+(b-2a)x+(a-b+c)$$

左辺と係数を並べて比べる。$x^2$ の係数から $a=2$、$x$ の係数から $b-2a=3$ なので $b=7$、定数項から $a-b+c=-1$ なので $c=4$ です。

$a$, $b$, $c$ を動かすと、細い曲線が太い曲線へ寄っていきます。$3$ つが正しい値に届いた瞬間だけ、$2$ 本が完全に重なる。恒等式が成り立つのはこの $1$ 組だけです。

次数を先に見る

係数比較で手を止めないコツは、次数の高いほうから決めることです。上の例なら $x^2$ の係数から $a$ が即決まり、それを使って $b$、さらに $c$ と順に落ちていく。

連立方程式として一度に解こうとすると、$3$ 元連立に見えて重く感じます。実際は上から順に $1$ つずつ決まる形。

同じ次数の係数を縦に見て、左から順に確定させる。$3$ 本の縦線が左から灯っていく順番が、そのまま計算の順番です。

分数式でも同じ

分母に $x$ が入っていても考え方は変わりません。次の等式を恒等式にする $a$, $b$ を求めます。

$$\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}$$

両辺に $(x-1)(x+2)$ を掛けて分母を払うと、整式の恒等式になります。

$$5x-1=a(x+2)+b(x-1)$$

右辺を整理して $(a+b)x+(2a-b)$。係数を比べて $a+b=5$, $2a-b=-1$ から $a=\frac{4}{3}$, $b=\frac{11}{3}$ です。

分母を払うときは、$x=1$ と $x=-2$ を除いた範囲での話になります。ただし両辺は整式なので、その $2$ 点でも連続してつながる。結局すべての $x$ で成り立ちます。

恒等式かどうかを見抜く

問題文に「恒等式」と書いてあれば迷いません。書いていない場合は、求める文字が何かを見ます。

$x$ を求めるなら方程式。$x$ 以外の $a$, $b$, $c$ を求め、$x$ は「任意の値」として置かれているなら恒等式です。「$x$ の値にかかわらず成り立つように」「つねに成り立つように」という言い回しが目印になります。

この読み分けを最初にやっておくと、途中で方針が揺れません。