部分分数分解のやり方と、和が消える仕組み
は、 つの分数の差に分けられます。
右辺を通分すれば左辺に戻るので、確かに成り立つ。この向きに分けることを部分分数分解といいます。分母が積になっている分数式を、分母がそれぞれの因数である分数の和に直す操作です。
分け方は恒等式で決める
分解した形を先に立て、分子を未知数にします。分母が 次式の積なら、分子は定数でよい。
両辺に を掛けると、整式の恒等式になります。
を入れて から 、 を入れて から 。因数を にする値を選べば、片方ずつ落ちます。
太い曲線が分解前、細い 本が分解後です。 本を縦に足すと太い曲線に重なります。同じ関数を、扱いやすい部品に分けた形。
分母の形で立て方が変わる
次式の積なら分子は定数。ただし分母に 乗や 次式が現れると、立て方を変えます。
分子の次数は、分母の次数より つ低いところまで用意します。 次式が分母なら分子は 次式。ここを定数にすると足りません。
2 乗の分母を試す
払うと 。 から 、 の係数を比べて です。
になります。分子を と書き直しただけ、と見ることもできる。
効くのは足し合わせるとき
部分分数分解の値打ちは、和をとる場面で出ます。 を から まで足してみます。
隣どうしが打ち消し合い、両端だけが残ります。
上下の棒が隣どうしで消えていき、最初と最後だけが残ります。分解しなければ、この打ち消し合いは起こらない。和を求める問題で部分分数分解を疑う理由がこれです。
分子の次数に注意する
分子の次数が分母以上のときは、そのままでは分解できません。先に割り算をして、真分数の形にします。
を で割った商が 、余りが 。この余りの部分を分解します。
商の部分を忘れると、いくら係数を合わせても等式が成り立ちません。分子と分母の次数を最初に見比べる習慣をつけておくと、このとりこぼしが起きない。
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分母が積になっている分数式を、分母がそれぞれの因数である分数の和に直します。形を先に立てて分母を払えば、あとは恒等式の係数決定。分母が 2 乗のときと 2 次式のときで、置き方が変わります。k と k+1 の差に分けると和が隣どうしで打ち消し合い、両端だけが残る。分子の次数が高いときは先に割り算します。