比例式は k とおく｜高校数学の等式の証明と比の計算

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ という条件が出てきたら、まとめて $k$ と置きます。

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$$

すると $a=bk$, $c=dk$。文字を消すのではなく、共通の値に名前をつけて増やす方向の工夫です。増えたぶん $a$ と $c$ が $b$, $d$, $k$ で書けるようになり、式全体が $k$ で通せるようになります。

上の組と下の組で、青い棒は灰色の棒の同じ倍率になっています。この共通の倍率が $k$。比が等しいとは、$2$ つの組が同じ倍率でつながっている、ということです。

例で通す

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a+c}{b+d}$ も同じ値になることを示します。

$a=bk$, $c=dk$ を代入します。

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=\frac{(b+d)k}{b+d}=k$$

$b+d\ne 0$ なら約分できて $k$ が残る。$\frac{a}{b}$ と等しいことが示せました。

同じ手で $\frac{a-c}{b-d}$ も $k$ になります。$\frac{2a+3c}{2b+3d}$ のように係数がついても、$\frac{(2b+3d)k}{2b+3d}=k$ で同じ。分母と分子で同じ組み合わせを作れば、いつでも $k$ に戻ります。

3 つ以上でも同じ

$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=k$ と置けば、$a=xk$, $b=yk$, $c=zk$。文字が増えても手順は変わりません。

$$\frac{a+b+c}{x+y+z}=\frac{(x+y+z)k}{x+y+z}=k$$

$2$ 乗が混じっても通ります。$\frac{a^2+b^2}{x^2+y^2}=\frac{(x^2+y^2)k^2}{x^2+y^2}=k^2$ で、こちらは $k^2$ になる。

分母が 0 でない断り

$k$ と置く前に、分母が $0$ でないことを押さえます。$\frac{a}{b}$ と書かれている時点で $b\ne 0$ が前提。答案でもそこは触れずに進めてよい部分です。

気をつけるのは、証明の途中で新しく作った分母のほう。$\frac{a+c}{b+d}$ の $b+d$ は、もとの条件からは $0$ でないと言えません。$b=1$, $d=-1$ なら $0$ になる。

そこで「$b+d\ne 0$ のとき」と条件を書き添えるか、問題文にその断りがあるかを確かめます。ここを飛ばした答案は減点されます。

$2$ 本の矢印が、いつも同じ倍率で伸び縮みします。向きはばらばらでも倍率だけが共通。比の条件が縛っているのはこの倍率です。

文字を消すか、名前をつけるか

条件が $a+b+c=0$ のような和の形なら、$1$ 文字を消すほうが速い。条件が比の形なら、$k$ と置くほうが速くなります。

比の条件で無理に文字を消そうとすると、$a=\frac{bc}{d}$ のような分数が式のあちこちに現れて重くなる。$k$ を導入すれば、掛け算だけで書けます。

条件の形を見て、消すか置くかを最初に決める。ここが分かれ道です。