比例式は k とおく｜高校数学の等式の証明と比の計算

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ という条件が出てきたら、まとめて $k$ と置きます。

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$

すると $a = bk$ , $c = d k$ 。文字を消すのではなく、共通の値に名前をつけて増やす方向の工夫です。増えたぶん $a$ と $c$ が $b$ , $d$ , $k$ で書けるようになり、式全体が $k$ で通せるようになります。

上の組と下の組で、青い棒は灰色の棒の同じ倍率になっています。この共通の倍率が $k$ 。比が等しいとは、 $2$ つの組が同じ倍率でつながっている、ということです。

例で通す

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、 $\frac{a + c}{b + d}$ も同じ値になることを示します。

$a = bk$ , $c = d k$ を代入します。

$\frac{a + c}{b + d} = \frac{bk + d k}{b + d} = \frac{( b + d ) k}{b + d} = k$

$b + d \neq = 0$ なら約分できて $k$ が残る。 $\frac{a}{b}$ と等しいことが示せました。

同じ手で $\frac{a - c}{b - d}$ も $k$ になります。 $\frac{2 a + 3 c}{2 b + 3 d}$ のように係数がついても、 $\frac{( 2 b + 3 d ) k}{2 b + 3 d} = k$ で同じ。分母と分子で同じ組み合わせを作れば、いつでも $k$ に戻ります。

3 つ以上でも同じ

$\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = k$ と置けば、 $a = x k$ , $b = y k$ , $c = z k$ 。文字が増えても手順は変わりません。

$\frac{a + b + c}{x + y + z} = \frac{( x + y + z ) k}{x + y + z} = k$

$2$ 乗が混じっても通ります。 $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{( x ^{2} + y ^{2} ) k ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} = k^{2}$ で、こちらは $k^{2}$ になる。

分母が 0 でない断り

$k$ と置く前に、分母が $0$ でないことを押さえます。 $\frac{a}{b}$ と書かれている時点で $b \neq = 0$ が前提。答案でもそこは触れずに進めてよい部分です。

気をつけるのは、証明の途中で新しく作った分母のほう。 $\frac{a + c}{b + d}$ の $b + d$ は、もとの条件からは $0$ でないと言えません。 $b = 1$ , $d = - 1$ なら $0$ になる。

そこで「 $b + d \neq = 0$ のとき」と条件を書き添えるか、問題文にその断りがあるかを確かめます。ここを飛ばした答案は減点されます。

$2$ 本の矢印が、いつも同じ倍率で伸び縮みします。向きはばらばらでも倍率だけが共通。比の条件が縛っているのはこの倍率です。

文字を消すか、名前をつけるか

条件が $a + b + c = 0$ のような和の形なら、 $1$ 文字を消すほうが速い。条件が比の形なら、 $k$ と置くほうが速くなります。

比の条件で無理に文字を消そうとすると、 $a = \frac{b c}{d}$ のような分数が式のあちこちに現れて重くなる。 $k$ を導入すれば、掛け算だけで書けます。

条件の形を見て、消すか置くかを最初に決める。ここが分かれ道です。

a/b = c/d という条件は、まとめて k と置くと扱いが変わります。a = bk、c = dk と書けるので式全体が k で通り、分母と分子に同じ組み合わせを作れば必ず k に戻る。3 つ以上でも 2 乗が混じっても同じ手順です。証明の途中で新しく作った分母が 0 でないことだけは、断りを入れる必要があります。