2 次式で割った余りは ax + b とおく

$2$ 次式で割った余りを求めるとき、割り算は実行しません。余りを $ax+b$ と置くところから始めます。

割り算の等式は次の形になります。

$$P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b$$

余りの次数は、割る式の次数より必ず低い。$2$ 次式で割るなら余りは $1$ 次以下なので、$ax+b$ が最も一般的な形です。$a=0$ になる場合も含んでいます。

$x=1$ を入れると $(x-1)$ が $0$ になり、商を含む部分がまるごと消えます。$x=2$ でも同じ。残るのは余りの部分だけです。

2 つの値を代入する

$P(x)$ を $x-1$ で割った余りが $3$、$x-2$ で割った余りが $5$ のとき、$(x-1)(x-2)$ で割った余りを求めます。

剰余の定理から $P(1)=3$, $P(2)=5$ が分かっています。割り算の等式に代入する。

$$P(1)=a+b=3,P(2)=2a+b=5$$

引いて $a=2$、戻して $b=1$。余りは $2x+1$ です。$P(x)$ が何次式かも、$Q(x)$ が何かも知らないまま答えが出ました。

重解のときは代入が足りない

割る式が $(x-1{)}^2$ だと、代入できる値が $x=1$ の $1$ つしかありません。式が $1$ 本では $a$ と $b$ が決まらない。

$$P(x)=(x-1{)}^{2}Q(x)+ax+b$$

$P(1)=a+b$ しか出ないので、もう $1$ 本の情報が要ります。よく使う手が $2$ つ。

ひとつは、問題文の条件を書き直すこと。「$P(x)$ を $(x-1{)}^2$ で割ると $\cdots$」という別の情報が与えられている場合が多い。

もうひとつは、$P(x)$ の形が具体的に分かっているときに、$x-1=t$ と置いて展開する方法です。$x=t+1$ を代入して $t$ の式に直すと、定数項と $1$ 次の項がそのまま余りになります。

$P(x)$ の形をいくら変えても、$x=1$ と $x=2$ での値は変わりません。$2$ 点を通る直線が余り。この $2$ 点が動かないことが、余りが $1$ つに決まる理由です。

3 次式で割るとき

割る式が $3$ 次なら、余りは $2$ 次以下。$a{x}^2+bx+c$ と置いて、代入できる値を $3$ つ集めます。

$$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+a{x}^2+bx+c$$

$P(1)$, $P(2)$, $P(3)$ の $3$ 本から $3$ 元連立を解く。未知数の個数と、割る式の因数の個数がそろっていれば必ず解けます。

因数が足りないときは、重解のときと同じで別の情報が要ります。

手順は 3 つ

余りを問われたら、次の順で考えます。

割り算そのものは一度も実行しません。$P(x)$ が $100$ 次でも、この手順なら同じ手数で答えが出ます。