数値代入法 - 必要条件で求めて十分性を確かめる

恒等式の未知数を決めるとき、展開せずに済ませる道があります。都合のよい値を代入して、その場で $1$ 文字ずつ落とす方法です。

$$2x^2+3x-1=a(x-1)(x-2)+b(x-1)+c$$

$x=1$ を入れると右辺の第 $1$ 項と第 $2$ 項が消え、$c=2\cdot 1+3-1=4$ が即座に出ます。次に $x=2$ を入れると第 $1$ 項が消えて $b+c=13$、よって $b=9$。最後に $x=0$ で $2a-b+c=-1$ から $a=2$ です。

代入する値を選ぶと、因数に $0$ が現れる項が消えます。消えた項の数だけ未知数が減り、$1$ 本の式で $1$ 文字が決まる。展開の手間がまるごと省けます。

どの値を選ぶか

やみくもに代入しても効きません。因数を $0$ にする値を選びます。

上の例なら $(x-1)$ を含む項が $2$ つあるので $x=1$、$(x-2)$ を含む項があるので $x=2$。残りは $x=0$ が計算しやすい。

分母を払った形の恒等式でも同じです。$\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}$ を払った $5x-1=a(x+2)+b(x-1)$ に $x=1$ と $x=-2$ を入れれば、$a$ と $b$ が一発ずつ出ます。

ここに落とし穴がある

数値代入法には、係数比較法にない弱点があります。得られるのは必要条件でしかないという点です。

いま行ったのは「もし恒等式なら、$x=1$ でも成り立つはずだ」という推論。逆向き、つまり「$x=1,2,0$ で成り立てばすべての $x$ で成り立つ」は、まだ示していません。

黒い $3$ 点では両辺が必ず一致しています。それでも曲線どうしは離れたまま。有限個の点で合っていることは、全体で合っていることを保証しません。

十分性をどう確かめるか

$2$ つの道があります。ひとつは、求めた値を代入して展開し、両辺が本当に一致することを見る。もうひとつは次数を数える方法です。

両辺の差は高々 $n$ 次の整式。$n$ 次以下の整式が相異なる $n+1$ 個の値で $0$ になれば、それは恒等的に $0$ です。$n$ 次方程式の解は多くても $n$ 個しかないので、$n+1$ 個も解を持てるのは零多項式だけ。

さきほどの例は両辺とも $2$ 次以下なので、相異なる $3$ 個の値で合っていれば十分。$x=1,2,0$ の $3$ 個を使ったので、この時点で確認は済んでいます。

答案での書き方

代入で値を出したあと、$1$ 行を添えます。

「逆に、このとき両辺の差は $2$ 次以下の整式で、相異なる $3$ 個の値 $x=0,1,2$ で $0$ になるから、恒等的に $0$ である」

この $1$ 行があるかどうかで、答案の評価が変わります。展開して確かめるほうが確実な場面もあるので、次数が低いときは素直に展開してもよい。

どちらを使うか

$2$ つの方法は競合しません。使い分けの目安があります。

右辺が因数の積の形なら数値代入が速い。展開された形で並んでいるなら係数比較のほうが手数が少なくなります。

途中まで代入で決め、残りを係数比較で埋める、という混ぜ方もできる。上の例で $c$ と $b$ を代入で出し、$a$ を $x^2$ の係数比較で出すと、$x=0$ の代入すら要りません。