分数式の四則と繁分数式の外し方（高校数学・式と証明）

分数式の計算は、数の分数とまったく同じ規則で動きます。違うのは、約分や通分に因数分解が要ることだけ。

掛け算と割り算

掛け算は分子どうし、分母どうしを掛けます。掛けてから約分するのではなく、約分してから掛けるほうが軽い。

$$\frac{x^2-1}{x^2+3x}\times \frac{x+3}{x-1}$$

分子と分母をそれぞれ因数分解します。$x^2-1=(x+1)(x-1)$、$x^2+3x=x(x+3)$。

$$\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+3)}\times \frac{x+3}{x-1}=\frac{x+1}{x}$$

$(x-1)$ と $(x+3)$ が消えました。展開してしまうと、この打ち消し合いが見えなくなります。

割り算は逆数を掛ける。$\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times \frac{D}{C}$ で、あとは掛け算と同じです。

足し算と引き算

分母をそろえてから分子を計算します。通分の相手は分母の最小公倍数。

$$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}$$

分母は $x-1$ と $x+1$ で共通因数がないので、最小公倍数は積の $(x-1)(x+1)$。

$$\frac{(x+1)+2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-1}{x^2-1}$$

分母に共通部分があるときは、積を作ると余計に大きくなります。$\frac{1}{x(x-1)}+\frac{1}{x(x+2)}$ なら、最小公倍数は $x(x-1)(x+2)$。$x$ を $2$ 回書く必要はありません。

共通因数の $x$ を $1$ つにまとめたものが最小公倍数です。積をそのまま使うと分母が $x^2$ を含み、最後に約分し直すことになります。

繁分数式

分数の中に分数が入った形を繁分数式といいます。

$$\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$$

外して計算する道は $2$ つ。$1$ つは、分子と分母をそれぞれ $1$ つの分数にまとめてから割り算に直す方法です。

分子は $\frac{x-1}{x}$、分母は $\frac{x+1}{x}$。割り算にすると

$$\frac{x-1}{x}÷\frac{x+1}{x}=\frac{x-1}{x}\times \frac{x}{x+1}=\frac{x-1}{x+1}$$

もう $1$ つは、分子と分母に同じものを掛ける方法。内側の分母 $x$ を両方に掛けます。

$$\frac{\left(1-\frac{1}{x}\right)\times x}{\left(1+\frac{1}{x}\right)\times x}=\frac{x-1}{x+1}$$

$1$ 段で片づくのでこちらが速い。掛けるのは内側の分母の最小公倍数です。

内側の枠が消えて $1$ 段になれば、あとは普通の分数式です。段数を減らすことが繁分数の計算そのものになります。

分母が 0 にならない範囲

分数式には、分母を $0$ にする値が使えません。$\frac{x+1}{x}$ なら $x\ne 0$。

約分で消えた因数についても、条件は残ります。$\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+3)}\times \frac{x+3}{x-1}$ を約分した結果は $\frac{x+1}{x}$ ですが、もとの式では $x\ne 1$, $x\ne -3$ も必要でした。

答案で毎回書くかどうかは問題によります。恒等式として扱う場面や、関数の定義域を問われる場面では、消えた因数の条件まで書き添える。計算問題として答えるだけなら、最後の形の分母だけ見れば足りることが多い。

手順をそろえる

分数式の計算は、次の順で進めると迷いません。

因数分解を最初に置くこと。展開してから約分先を探すと、消えるはずの因数が見えなくなります。数の分数で $\frac{12}{18}$ を $\frac{2\times 6}{3\times 6}$ と見るのと同じことです。