相加平均と相乗平均 - 高校数学の不等式の証明と最小値

$a>0$, $b>0$ のとき、次が成り立ちます。

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$$

左辺が相加平均、右辺が相乗平均。足して割った値は、掛けて根号をとった値を下回りません。等号が立つのは $a=b$ のときだけです。

証明は差をとるだけ

$\sqrt{a}$, $\sqrt{b}$ が実数であることを使います。差を $2$ 倍して整理する。

$$a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}{)}^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b}{)}^2=(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2$$

$2$ 乗なので $0$ 以上。$2$ で割れば不等式が出ます。等号は $\sqrt{a}=\sqrt{b}$、つまり $a=b$ のとき。

$a>0$, $b>0$ という条件は外せません。根号の中身が負になると $\sqrt{ab}$ が実数でなくなり、比べる相手がなくなります。

直径が $a+b$ の半円を描き、$a$ と $b$ の境目から垂線を立てると、その長さが $\sqrt{ab}$ になります。半径は $\frac{a+b}{2}$。垂線は半径を超えられません。

$a=b$ のとき境目が中心と重なり、垂線がそのまま半径になる。図がそのまま等号成立条件を語っています。

最小値を出す道具になる

相加相乗が実際に使われるのは、最小値を求める場面です。$x>0$ のとき $x+\frac{1}{x}$ の最小値を考えます。

$2$ つの正の数 $x$ と $\frac{1}{x}$ に当てると

$$x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2$$

積が $1$ という定数なので、根号の中身が $x$ によらない値になりました。ここが要点です。等号は $x=\frac{1}{x}$、つまり $x=1$ のとき。最小値 $2$ です。

曲線は破線より下へ行かず、$x=1$ でだけ触れます。相加相乗が言っているのは、この破線の高さが $2$ だということ。

積が定数にならないと使えない

相加相乗で最小値が出るのは、$2$ 数の積が定数になるときだけです。$x+\frac{4}{x}$ なら積が $4$ で定数なので $2\sqrt{4}=4$ が最小値。

いっぽう $x+\frac{1}{x^2}$ は積が $\frac{1}{x}$ で、$x$ が残ってしまう。この形にそのまま当てても、右辺が定数にならないので最小値は出ません。

分け方を工夫すれば使える場合もあります。$x+\frac{1}{x^2}$ を $\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{x^2}$ と $3$ つに割ると、積が $\frac{1}{4}$ で定数になる。$3$ 数の相加相乗を使う形です。

等号が成り立つかを確かめる

最小値を答える前に、等号が実際に成り立つ $x$ が定義域の中にあるかを見ます。

$x\ge 3$ という条件で $x+\frac{1}{x}$ の最小値を問われたとします。相加相乗は $2$ を出しますが、等号成立は $x=1$ で、これは定義域の外。したがって $2$ は最小値になりません。

この場合は $x\ge 3$ で単調に増えることを別に示して、$x=3$ での値 $\frac{10}{3}$ が最小と答えます。等号成立条件を確かめないと、届かない値を最小値と書いてしまう。

3 数の場合

$a$, $b$, $c$ がすべて正のとき、次が成り立ちます。

$$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$$

$2$ 数のときと同じで、等号は $a=b=c$。証明は $a^3+b^3+c^3-3abc$ の因数分解を使います。

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)$$

第 $2$ 因数は $2$ 倍すると $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$ になるので $0$ 以上。第 $1$ 因数も正なので、全体が $0$ 以上です。$a$, $b$, $c$ を $\sqrt[3]{a}$ などに置きかえれば、上の形になります。