半分に切ったばねは硬くなる（フックの法則とばね定数）

ばねを引くと、引いた長さに比例した力で戻そうとします。$2$ 倍伸ばせば $2$ 倍の力、$3$ 倍なら $3$ 倍。この比例関係がフックの法則です^[3]。

$$F=-kx$$

$x$ は自然の長さからのずれ、$k$ はばねの硬さを表す定数。負号は、力が変位と逆を向くことを示しています。伸ばせば縮む向きに、縮めれば伸びる向きに働く。

ばね定数はばねの硬さそのもの

$k$ をばね定数といい、単位は N/m です^[2]。$1\mathrm{m}$ 伸ばすのに何 N 要るか、という読み方になる。

$k$ が大きいほど硬いばね。同じ力をかけても、$k$ が $2$ 倍なら伸びは半分になります。

値は材質と形で決まる。太い針金を使えば硬くなり、巻き数を増やせばやわらかくなります^[1]。

例：ばねばかりの伸びを出す

$k=20N/m$ のばねに、質量 $0.50\mathrm{kg}$ のおもりを吊るします。つり合いの位置では、ばねの力と重力が等しい。

$$kx=mg⟹x=\frac{0.50\times 9.8}{20}=0.25\mathrm{m}$$

$25\mathrm{cm}$ 伸びます。おもりを $2$ 倍にすれば伸びも $2$ 倍で、$50\mathrm{cm}$ になる。

ばねばかりの目盛りが等間隔なのは、この比例のおかげです。目盛りが詰まったり広がったりしていたら、比例していない証拠になる。

比例が成り立つのは限界の内側だけ

フックの法則は、どこまでも成り立つわけではありません^[2]。引きすぎると比例から外れ、さらに引くと元の長さへ戻らなくなる。

比例が崩れ始める点を比例限界、手を離しても戻らなくなる点を弾性限界といいます。弾性限界を超えた変形は残ってしまう。

伸びきったばねばかりが使い物にならないのは、この線を越えたからです。

ばねにたくわえられるエネルギー

グラフの直線の下にできる三角形の面積が、ばねにたくわえられたエネルギーです。底辺 $x$、高さ $kx$ の三角形になる。

$$U=\frac{1}{2}k{x}^2$$

伸びの $2$ 乗で増えます。$2$ 倍伸ばせばエネルギーは $4$ 倍。力が $2$ 倍になり、その力で動かす距離も $2$ 倍になるためです。

例：ばねにためたエネルギー

$k=20N/m$ のばねを $0.25\mathrm{m}$ 伸ばした場合を計算する。

$$U=\frac{1}{2}\times 20\times 0.25^2=0.63\mathrm{J}$$

手を離せば、この $0.63\mathrm{J}$ が運動エネルギーへ移ります。おもちゃのばね鉄砲が飛ぶのは、この受け渡しが起きているから。

2 本を横に並べると硬くなる

$2$ 本のばねを横に並べ、同じ物体を支えさせます。どちらのばねも同じだけ伸びる形になる^[4]。

伸びを $x$ とすると、それぞれが出す力は $k_{1}x$ と $k_{2}x$ です。合計が全体の力になる。

$$F=k_{1}x+k_{2}x=(k_1+k_2)x$$

つまり合成されたばね定数は、単純な足し算です^[4]。

$$k=k_1+k_2$$

$1$ 本あたりが受け持つ力が減るので、全体としては硬くなる。この並べ方を並列といいます。

縦につなぐとやわらかくなる

今度は $2$ 本を縦につなぎ、下端におもりを吊るします。上のばねも下のばねも、同じ大きさの力で引かれる^[4]。

それぞれの伸びは $F/k_1$ と $F/k_2$ で、全体の伸びはその和になります。

$$x=\frac{F}{k_1}+\frac{F}{k_2}=F\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)$$

$F=kx$ と見比べると、逆数どうしの足し算になっている^[1]。

$$\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$$

伸びる場所が増えるので、全体はやわらかくなります。このつなぎ方を直列という。

例：同じばね 2 本を組み合わせる

$k=100N/m$ のばねを $2$ 本使います。並列なら $100+100$ で $200N/m$。

直列は逆数で足す。

$$\frac{1}{k}=\frac{1}{100}+\frac{1}{100}=\frac{2}{100}⟹k=50N/m$$

$10\mathrm{N}$ のおもりを吊るすと、$1$ 本なら $10\mathrm{cm}$、並列なら $5\mathrm{cm}$、直列なら $20\mathrm{cm}$ 伸びます。

どちらも「共通なのはどちらの量か」を見れば導けます。並列は伸び、直列は力。ここさえ押さえれば、式を覚えていなくても組み立てられる。

半分に切ると硬くなる

ばねを半分に切ると、ばね定数は $2$ 倍になります^[1]。直列の式を逆にたどると分かる。

長さ $2L$ のばねは、長さ $L$ のばね $2$ 本を直列につないだものと同じ。だから $1/k_{2L}=2/k_L$ で、$k_L=2k_{2L}$ になります。

長さとばね定数は反比例する。同じ針金でも、短く巻けば硬く、長く巻けばやわらかくなります。

例：長さを 3 倍にする

同じ針金を $3$ 倍の長さに巻き直すと、ばね定数は $1/3$ になります。

$k=300N/m$ のばねなら $100N/m$ です。同じおもりで伸びは $3$ 倍になる。

台ばかりのばねが太くて短いのは、大きな荷重でも縮みすぎないようにするため。

つないだばねの見分け方

参考