二重振り子とカオス〜決まっているのに予測できない運動

糸におもりを $1$ つ吊るした振り子は、次にどこへ行くか目で追えます。同じ振れ幅で、同じ周期で、いつまでも同じ動きを繰り返す。

そのおもりに、もう $1$ 本の糸でおもりを吊るします。とたんに追えなくなる。回ったり跳ねたり、$2$ 度と同じ動きをしません。

方程式は $2$ 本増えただけです。しかも書き下せる。決まっているのに読めない、という状態がここから始まります。

小さく振れば読める

振れ幅が小さいうちは、$\sin \theta$ を $\theta$ に置きかえられます^[4]。この置きかえで、運動方程式が $1$ 次式になる。

$1$ 次式なら解が重ね合わせられます。$2$ つのおもりの動きは、$2$ 種類の単振動の足し算として書ける。

$1$ つ目は、$2$ つのおもりが同じ向きに振れる型。もう $1$ つは、逆向きに振れる型です。周期はそれぞれ別の値になります。

どんな振り方をしても、この $2$ つの重ね合わせにしかなりません。初期条件を変えても、混ぜる割合が変わるだけ。

大きく振ると置きかえが効かなくなる

振れ幅を大きくすると、$\sin \theta$ と $\theta$ の差が無視できなくなります。方程式が $1$ 次でなくなり、重ね合わせが使えない。

$2$ 本目の振り子が支点より上まで回り込むようになると、決定的に変わります。回るのか戻るのかが、ほんのわずかな差で分かれる。

大学の演示装置でも、線形化を切るかどうかで動きが変わることが示されています^[3]。$\sin \theta =\theta$ の近似を入れたままなら、カオスは現れません。

近似を外した瞬間に出てくる。カオスは方程式の非線形性から来ています。

差は指数で育つ

$2$ つの二重振り子を、ほとんど同じ角度から離します。差が $0.0005$ ラジアンだとしましょう。

しばらくは重なって見えます。やがて少しずれ、ずれが目に見えるようになり、最後はまったく別の動きになる^[3]。

育ち方は足し算ではなく掛け算です。初めの差を ${\delta }_0$ として、時間とともに次のように広がります。

$$\delta (t)\fallingdotseq {\delta }_0{e}^{\lambda t}$$

$\lambda$ をリアプノフ指数といいます^[1]。正なら差が広がり、負なら縮む。

例：指数の値を読む

強制振動する振り子で計算した例があります。駆動の強さを変えると、指数の符号が変わる^[1]。

正の側で、初期条件の差が $100$ 万分の $1$ だったとします。差が $1$ まで育つのにかかる時間は次のようになる。

$$t=\frac{\ln 10^6}{0.154}\fallingdotseq 90\mathrm{s}$$

$90$ 秒で予測が意味を失います。$1$ 分半しか先が読めない。

精度を上げても稼げない

観測の精度を $1000$ 倍に上げたとします。読める時間はどれだけ延びるか。

$$\Delta t=\frac{\ln 1000}{0.154}\fallingdotseq 45\mathrm{s}$$

$45$ 秒だけです。精度を $1000$ 倍にしても、$1$ 分足らずしか稼げません。

指数で育つものに対しては、精度を上げても効果が対数でしか返ってきません。ここがカオスのいちばんきついところです。

カオスは乱数ではない

読めないからといって、でたらめに動いているわけではありません。方程式は完全に決まっていて、同じ初期条件を入れれば同じ運動が出ます^[3]。

計算機で同じ数値を $2$ 回入れれば、まったく同じ軌跡を描く。乱数を使っていないのだから当然です。

読めない理由は、初期条件を無限の精度で書けないことにあります。測定にも計算にも桁の限りがあり、その限りが指数で拡大される。

決定論的カオスと呼ばれるのは、この $2$ つを区別するためです。決まっていることと予測できることは、別の話だった。

見分ける道具

整った運動とカオスを分ける方法がいくつかあります^[2]。

ポアンカレ断面は、運動を毎周期 $1$ 回だけ記録する方法です。周期運動なら、記録される点が同じ場所に重なる。

カオスでは点が広がり、拡大しても細かい構造が出てきます。同じ形が入れ子になっている図形になる。

同じ話が別の場所にも出る

同じ性質は振り子だけのものではありません。気象、生物の個体数、流体の乱れなど、非線形の系に広く現れます^[2]。

天気予報の当たる日数に限りがあるのも、この構造が理由です。計算機を速くしても、伸びる日数は対数でしか増えません。

太陽系の惑星の位置も、数千万年より先は同じ理由で計算できません。$2$ 体なら永久に書けたものが、$3$ 体以上では有限の未来までになる。

確かめ方

手元で試すなら、同じ装置を $2$ 回、できるだけ同じ角度から離してみます。どこまで重なるかを見る。

数値計算なら、初期角度を $1$ か所だけ小数点以下で変えて $2$ 本走らせます。差の対数を時間に対して描くと、しばらく直線に乗る。その傾きがリアプノフ指数です^[1]。

もう $1$ つ、$\sin \theta$ を $\theta$ に置きかえた式でも同じことをします。今度は差が広がりません^[3]。

非線形を外すとカオスが消える。この対比が、原因がどこにあるかを直接示しています。

振り子を $1$ つ足す。それだけで、書き下せる方程式から書き下せない未来が出てきます。

参考