強制振動と共振：ブランコが大きく振れる条件

ブランコは、押すタイミングを合わせると小さい力でどんどん大きく振れます。でたらめな間隔で押すと、かえって止まる。

同じ大きさの力でも、加える周期しだいで結果がまるで変わる。振れ幅がいちばん大きくなる周期を、共振の起きる点といいます。

系には自分の振動数がある

ばねにつないだおもりを引いて手を離すと、決まった周期で振れます。この振動数を固有振動数といい、ばね定数と質量だけで決まる^[1]。

$${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

$m=0.50\mathrm{kg}$、$k=200N/m$ なら ${\omega }_0=20rad/s$ です。振動数に直すと $20/(2\pi )$ でおよそ $3.2\mathrm{Hz}$ になる。

長さ $1.0\mathrm{m}$ の振り子なら周期が $2.0$ 秒なので、固有振動数は $0.50\mathrm{Hz}$ になる。

外から周期的に揺すると、その周期で振れる

支点を手で周期的に動かすと、おもりは自分の固有振動数ではなく、加えた振動数で振れるようになります。これを強制振動という^[1]。

始めのうちは $2$ つの振動が混ざりますが、減衰があるので固有振動のほうは消えていく。残るのは加えた振動数の成分だけになる。

振れ幅は、加える振動数 $\omega$ と固有振動数 ${\omega }_0$ の関係で決まります^[4]。

$$A=\frac{F_0}{\sqrt{m^2({\omega }^2-{\omega }_0^2{)}^2+b^2{\omega }^2}}$$

分母の第 $1$ 項は $\omega$ が ${\omega }_0$ に近づくほど小さくなります。だから振れ幅はそこで最大になる^[1]。

減衰がなければ振れ幅は際限なく伸びる

減衰の項 $b$ を $0$ にすると、$\omega ={\omega }_0$ で分母がまるごと消えます。振れ幅は無限に大きくなる計算になる^[2]。

実際には減衰があるので、そこで止まる。山の高さは減衰の大きさで決まり、小さいほど高く鋭くなります^[1]。

山の位置も少しずれます。減衰があると、最大になる振動数は固有振動数よりわずかに低い側へ動く^[2]。

$${\omega }_R=\sqrt{{\omega }_0^2-2{\gamma }^2}$$

減衰が弱ければ、この差は無視できます。高校の問題では ${\omega }_R={\omega }_0$ として扱ってよい。

山の鋭さを表す量

山の細さは、共振の起きる範囲の狭さを表します。この鋭さを $Q$ 値といい、減衰が小さいほど大きくなる^[4]。

$$Q=\frac{{\omega }_0}{\Delta \omega }$$

$Q$ が大きい系は、ぴったり合った振動数にだけ強く応じる。ラジオが特定の局だけを拾えるのも、同じ仕組みによります。

逆に $Q$ が小さいと、広い範囲にゆるく応じるかわりに、振れ幅は伸びません。

押すタイミングは 90 度ずれている

共振しているとき、おもりの動きは加えた力より $90$ 度遅れます^[2]。振動数が低い側ではほぼ同じ位相、高い側ではほぼ逆位相になる^[1]。

$90$ 度の遅れは、力と速度の向きがつねにそろっている状態にあたる。力がする仕事がいつも正になるので、エネルギーが最も効率よく入ります。

ブランコを最下点で押すのが効きやすいのは、そこで速度が最大になるから。いちばん高いところで押しても、速度が $0$ なので仕事になりません。

身のまわりの共振

洗濯機の脱水で、ある回転数だけ大きく揺れることがある。槽の固有振動数を回転数が通過する瞬間にあたります。

弦楽器の共鳴箱、水を入れたグラスの縁をこすって鳴らす音、ラジオの同調回路。どれも固有振動数に合った成分だけを強く拾う仕組みです。

建物にも固有周期があります。低くて硬い建物ほど周期が短く、高くてしなやかな建物ほど長くなる。地震の揺れに含まれる周期と合うと、大きく揺れます。

高層ビルが遠くの地震でゆっくり長く揺れるのは、長い周期の成分と固有周期が近いから。制振装置は、この揺れのエネルギーを吸って減衰を増やす道具です。

タコマ橋は共振ではない

$1940$ 年に落ちたタコマナローズ橋は、共振の例としてよく紹介される。ただし、いまの理解では正しくありません^[3]。

外から一定の周期の力が加わったわけではありません。橋がねじれると風の当たる角度が変わり、そのせいで受ける力がさらにねじれを大きくする^[3]。

自分の動きが自分を揺らす向きに働くこの仕組みを、自励振動といいます。共振では振動数を合わせる相手が外にいますが、こちらには外の周期がない。

見た目は似ていても、原因の構造が違う。設計で防ぐ手も、共振を避ける手とは別になります。

どの振動数で揺らすか

振れ幅の大小は、固有振動数からどれだけ離れているかで決まります。低い側と高い側で、離れ方の効き目は同じ。

まちがえやすいところ

参考