潮汐力と潮の満ち引き（月と反対側でも満潮になる理由）

満潮は $1$ 日に $2$ 回来ます。$1$ 回は月に向いた側、もう $1$ 回はその反対側^[1]。

月に引かれて水が持ち上がるなら、ふくらみは月の側だけのはずです。反対側にもう $1$ つできる理由が、潮汐力という言葉の中身になります。

効いているのは引力そのものではなく、地球の中で引力がどれだけ違うかという差です。

引力は場所ごとに少しずつ違う

月から地球までの距離は約 $38.4$ 万 $\mathrm{km}$、地球の半径は $6371\mathrm{km}$ です。月に近い側と遠い側で、距離が地球の直径ぶん違います。

万有引力は距離の $2$ 乗に反比例するので、近い側のほうが強く引かれる。中心はその中間、遠い側はいちばん弱い。

地球全体は中心の値で落ちていきます。だから中心の引力を基準にして、そこからの差だけを見ればよい^[2]。

近い側では差が月の向きに残ります。遠い側では引き足りないぶんが、月と反対の向きに残る。

どちらも中心から外へ向かう向きです。だからふくらみが $2$ つできます^[1]。

距離の 3 乗で効く

近い側と遠い側の引力の差を計算します。天体の質量を $M$、距離を $d$、地球の半径を $r$ とする。

$$\Delta F\fallingdotseq \frac{2GMmr}{d^3}$$

もとの引力は $2$ 乗に反比例していました。差をとると $3$ 乗になります^[2]。

$1$ つ次数が上がるので、距離の効き方がきつくなる。近いものが圧倒的に有利です。

月の値を入れると、$1\mathrm{kg}$ あたり $1.1\times 10^{-6}\mathrm{N}$ ほど。重力の $1000$ 万分の $1$ でしかありません。

この小さな力が海全体にはたらき続けるので、水が動きます。$1$ 点を持ち上げるのではなく、地球規模で少しずつ押しているためです。

太陽より月のほうが強い

太陽の質量は月の $2700$ 万倍。地球を引く力は、太陽のほうが $180$ 倍ほど強い。

ところが潮汐力では逆転します。太陽までの距離は月までの $390$ 倍近くあり、$3$ 乗で効くためです^[2]。

$$\frac{\Delta F_{\odot }}{\Delta F_{\mathrm{moon}}}\fallingdotseq 0.46$$

太陽の潮汐力は月の半分弱。引く力では圧勝している相手に、潮汐では負けます。

1 日に 2 回来る理由

ふくらみは月の方向に固定されています。地球はその下を自転していく。

$1$ 回転するあいだに、ふくらみを $2$ つとも通過します。だから満潮が $2$ 回、干潮が $2$ 回^[1]。

間隔はきっかり $12$ 時間ではありません。地球が $1$ 回転するあいだに月も少し進むので、同じ位置関係に戻るのに $24$ 時間 $50$ 分かかります。

満潮から次の満潮までは $12$ 時間 $25$ 分。毎日 $50$ 分ずつ後ろへずれていくのは、この差のためです。

大潮と小潮

太陽の潮汐力は月の半分弱ですが、無視できる大きさでもありません。$2$ つのふくらみが重なるかどうかで、潮の大きさが変わります^[2]。

新月と満月では、太陽と月が同じ線の上に並びます。ふくらみが重なって潮位の差が大きくなる。これが大潮です。

上弦と下弦では、太陽と月が直角の方向にあります。一方のふくらみが他方の谷と重なり、差が小さくなる。小潮です。

月の満ち欠けと潮の大きさが連動しているのは、月そのものが強くなるからではありません。太陽との位置関係が変わるためです。

ふくらみは対称ではない

$2$ つのふくらみは同じ高さに見えますが、少し違います。月に向いた側のほうが $7\%$ ほど大きい^[3]。

引力の変わり方が距離に対してまっすぐではないためです。近い側では差が急に増え、遠い側ではゆるやかにしか減らない。

上で使った $3$ 乗の式は、この非対称を落とした近似でした。$r/d$ の $1$ 次までで打ち切っているので、両側が同じ大きさになる。

潮汐力は落ちながらでも消えない

自由落下する箱の中では、重力を感じません。箱も中身も同じ加速度で落ちているためです。

ところが箱に大きさがあると、完全には消えません。上端と下端で重力の強さが違い、その差が残ります。

残るのが潮汐力です。地球も月に向かって落ち続けていて、中心の運動ぶんは打ち消されている。打ち消し残りだけが海を動かしています。

例：近づくほど急に強くなる

$3$ 乗の効き方は、近づいたときの伸びも急にします。距離が $\frac{1}{2}$ になれば潮汐力は $8$ 倍、$\frac{1}{10}$ なら $1000$ 倍。

密度の高い天体のそばでは、この伸びが物体を引き裂く大きさまで届きます。頭と足で引かれ方が違い、縦に引き伸ばされる。

同じことが小天体でも起きます。惑星に近づきすぎた彗星が、潮汐力で複数の破片に割れた例があります。

海の潮も、彗星が割れるのも、式は同じ $2GMr/d^3$。効いている大きさが違うだけです。

実際の潮はもっと複雑

ここまでの説明は、地球全体が水でおおわれているとしたときの話です。実際の海には陸があり、深さも場所ごとに違います。

満潮の時刻は、ふくらみが真上に来る時刻とずれます。水が動くのに時間がかかり、海底の地形にも邪魔されるためです。

潮位の差も場所で大きく変わります。外洋では小さく、湾の奥では水が押しこまれて大きくなる。

潮汐力が決めているのは、水を動かそうとする力の分布までです。そこから先は、海の形の問題になります。

引力ではなく引力の差を見る。この一歩で、反対側のふくらみも、太陽が月に負けることも、同じ式から出てきます。

出典