仕事の原理をてこと動滑車と斜面で確かめる

$60 kg$ の荷物は $588 N$ で引き上がります。動滑車を $1$ つはさむと、必要な力は $294 N$ まで落ちる。

ただしロープを引く長さは $2$ 倍になります。力と距離を掛けた値は、道具を使っても使わなくても同じ。これを仕事の原理といいます。

仕事は力と距離の積

物体を動かす向きにかかる力を $F$ 、動いた距離を $s$ とすると、した仕事は次のようになる。

$W = F s$

単位は J で、 $1 N$ の力で $1 m$ 動かしたときの値。

高さ $h$ まで質量 $m$ の荷物を持ち上げるなら、必要な仕事は $m g h$ になる。この値は、途中でどんな経路をとっても変わりません。

力で節約したぶんは距離で払う

道具は力を小さくする。そのかわり動かす距離が伸びます。

ガリレオが $1594$ 年に書いた言い方が、いちばん短くまとまっています。力で節約したものは、距離で足さなければならない。

$F_{1} s_{1} = F_{2} s_{2}$

摩擦がなければ、この積はいつも等しくなる。仕事の原理は、エネルギー保存則を道具の話に言いかえたものです。

動滑車は支えるロープの本数で決まる

動滑車では、荷物を支えるロープが $2$ 本になる。 $1$ 本あたりが受け持つ力は半分です。

引くほうも $2$ 本ぶん短くする必要があるので、ロープを引く長さは持ち上げる高さの $2$ 倍になる。

例：3 つの道具で同じ荷物を上げる

質量 $60 kg$ の荷物を $2.0 m$ の高さまで上げます。まっすぐ持ち上げるなら $588 N$ で $2.0 m$ 。

$W = 588 \times 2.0 = 1176 J$

動滑車を使うと $294 N$ で足ります。ロープを引く長さは $4.0 m$ になる。

$W = 294 \times 4.0 = 1176 J$

傾き $30$ 度の斜面を使う場合、必要な力は $588 sin 3 0^{\circ}$ で $294 N$ です。斜面に沿って進む距離は $2.0/ sin 3 0^{\circ}$ で $4.0 m$ 。

$W = 294 \times 4.0 = 1176 J$

てこで支点からの長さを $1$ 対 $3$ にとれば、力は $196 N$ 、動かす距離は $6.0 m$ 。積はやはり $1176 J$ になります。

力の倍率は距離の倍率の裏返し

道具が力を何倍にするかを、機械の倍率といいます。人が加える力を $F_{1}$ とその動く距離を $s_{1}$ 、荷物にかかる力を $F_{2}$ と持ち上がる距離を $s_{2}$ と書く。

摩擦のない理想の場合、倍率は距離の比で決まります。

$\frac{F _{2}}{F _{1}} = \frac{s _{1}}{s _{2}}$

力が $3$ 倍になる道具では、動かす距離が $3$ 分の $1$ に縮む。片方を決めれば、もう片方は選べません。

摩擦があると力の倍率が落ちる

実際の道具では、軸や面で摩擦がはたらきます。そのぶん余分に力が要る。

荷物が受けとった仕事を $W_{2}$ 、人が加えた仕事を $W_{1}$ とすると、その比が効率になります。

$η = \frac{W _{2}}{W _{1}}$

例：動滑車の効率

先ほどの動滑車で、実際には $320 N$ 必要だったとします。加えた仕事はこうなる。

$W = 320 \times 4.0 = 1280 J$

荷物が受けとった仕事は $1176 J$ のままです。差の $104 J$ は摩擦で熱に変わりました。

$\frac{1176}{1280} = 0.92$

効率は $92$ パーセント。倍率も $2$ ではなく $588/320$ で $1.8$ にとどまる。

理想の倍率

距離の比だけで決まる。動滑車なら支えるロープの本数、てこなら腕の長さの比

実際の倍率

力の比で測った値。摩擦のぶん理想より小さくなり、 $2$ つの比が効率になる

道具が変えているのは力の大きさだけ

仕事が減らないなら、道具に意味はないのかという話になります。意味はある。

人が一度に出せる力には限りがある。 $588 N$ は無理でも、 $294 N$ なら出せます。道具は、越えられない壁を距離に置きかえて回避する装置です。

同じ理由で、時間は節約できません。ゆっくり長く引くことになるので、かかる時間はむしろ延びる。

道具を使っても仕事が減らないのは、エネルギー保存則のあらわれです。荷物が得た位置エネルギーは、人がした仕事から来ている。

外から出入りがなければ、系の全エネルギーは変わらないという法則。道具は形を変えるだけで、量を作り出しません。

支えるロープを増やすとどうなるか

動滑車を組み合わせると、荷物を支えるロープの本数が増えます。 $n$ 本なら、必要な力は $1/ n$ になる。

引く長さは $n$ 倍です。 $4$ 本で支えれば $147 N$ で足りますが、 $2.0 m$ 上げるのに $8.0 m$ 引くことになる。

限界は摩擦が決める。滑車を増やすほど軸の摩擦が積み重なり、効率が落ちていきます。

どこまで力を減らせるか

質量 $90 kg$ の荷物を $1.5 m$ 持ち上げます。荷物を $3$ 本のロープで支える組み合わせ滑車を使うとき、引く力と引く長さはいくらですか。摩擦は無視します。

$882 N$ で $1.5 m$
$294 N$ で $4.5 m$
$294 N$ で $1.5 m$
$2646 N$ で $0.50 m$

__RESULT__

荷物の重さは $882 N$ です。 $3$ 本で支えるので力は $3$ 分の $1$ の $294 N$ 、引く長さは $3$ 倍の $4.5 m$ になります。積はどちらも $1323 J$ で一致する。

$60\ \mathrm{kg}$ の荷物は $588\ \mathrm{N}$ で持ち上がりますが、動滑車をはさめば $294\ \mathrm{N}$ で足ります。そのかわりロープを引く長さは $4.0\ \mathrm{m}$ に伸び、掛けた値は $1176\ \mathrm{J}$ のまま動かない。てこでも斜面でも同じで、力で節約したぶんは距離で払うことになります。ガリレオが $1594$ 年に書いたとおりの結論。摩擦を入れると加える仕事だけが増えるので、その比が効率になります。支えるロープを増やすほど力は減るのに、滑車の数に限界がある事情まで。