万有引力の位置エネルギーはなぜ負になるのか？基準を無限遠にとる

地表付近では位置エネルギーを $m g h$ と書きます。高いところほど大きく、値は正。

遠くまで扱うときは形が変わります。

$U = - \frac{GM m}{r}$

いつでも負です。同じ位置エネルギーなのに符号が逆になる。違うのは物理ではなく、 $0$ をどこに置いたかだけです^[2]。

位置エネルギーは差でしか意味を持たない

位置エネルギーは、 $2$ 点のあいだの差だけが物理に効きます。どこを $0$ と決めるかは自由で、決め方を変えても力は変わりません。

力は $U$ の傾きから出るためです。

$F = - \frac{d U}{d r}$

定数を足しても傾きは動きません。 $m g h$ でも $m g h + 100$ でも、出てくる力は同じ $m g$ です。

地表付近なら、地面を $0$ にとるのが自然でした。基準が近くにあって、 $g$ もほぼ一定だからです。

遠くまで扱うと地表を基準にしにくい

高度が上がると $g$ が小さくなります。 $m g h$ は $g$ を一定と見た近似なので、遠くでは使えません。

かといって高さごとに $g$ を変えると、式が場所ごとに違ってしまう。 $1$ 本ですませたい。

そこで、力が完全に $0$ になる場所を基準にとります。万有引力は距離の $2$ 乗に反比例するので、無限に遠ざけたところで $0$ になる^[1]。

無限遠を $0$ とすれば、どの天体を相手にしても同じ形の式が使えます。

仕事から式を出す

距離 $r$ にある質量 $m$ を、無限遠までゆっくり運ぶのに要る仕事を計算します。

$W = \int_{r}^{\infty} \frac{GM m}{x ^{2}} d x = [- \frac{GM m}{x}]_{r}^{\infty} = \frac{GM m}{r}$

正の値です。引力に逆らって外へ運ぶので、こちらが仕事をする側になる。

運び終わった先が $0$ で、運ぶのに $GM m / r$ だけ要った。だから出発点の位置エネルギーは、その分だけ低い場所にあります。

$U (r) = - \frac{GM m}{r}$

負の符号は「無限遠より下にいる」という意味です^[2]。深さを負の数で表しているのと変わりません。

負であることが束縛を表す

力学的エネルギー $E = K + U$ の符号で、逃げられるかどうかが決まります^[1]。

$E < 0$ なら、 $K$ がどこかで $0$ になる距離があります。そこから先へは行けないので、ある半径の内側に閉じこめられる。

$E = 0$ なら、無限遠にちょうど速さ $0$ で届きます。 $E > 0$ なら、無限遠でもまだ速さが残っている。

E < 0

無限遠まで届かない。ある距離で折り返す。惑星や衛星がこの状態

E \geq 0

無限遠まで届く。二度と戻らない。探査機を送り出すときはこちらにする

「束縛されているかどうかが符号で分かる」という言い方は、無限遠を $0$ にとったときだけ成り立ちます。基準を変えれば境目の数も変わる。

基準の選び方が自由であることと、この言い方が便利であることは両立しています。便利な基準を選んだ結果として、符号に意味が生まれた。

mgh はどこから出てくるのか

地表からの高さを $h$ として、 $r = R + h$ を代入します。

$U = - \frac{GM m}{R + h} = - \frac{GM m}{R} \cdot \frac{1}{1 + h / R}$

$h ≪ R$ なら $1/ (1 + h / R) ≒ 1 - h / R$ と近似できます。

$U ≒ - \frac{GM m}{R} + \frac{GM m}{R ^{2}} h$

第 $1$ 項は定数で、第 $2$ 項の係数 $GM / R^{2}$ が地表の $g$ です。定数を捨てれば $m g h$ が残ります^[2]。

$m g h$ は別の法則ではなく、 $- GM m / r$ を地表付近で切り取った形でした。定数を捨てた結果として、符号が正に見えているだけです。

例：近似はいつ崩れるか

正しい差と $m g h$ の比は $R / (R + h)$ になります。地球の半径は $6371 km$ 。

高さ	$R / (R + h)$	$m g h$ のずれ
$1 km$	$0.99984$	$0.02 %$
$100 km$	$0.9846$	$1.5 %$
$400 km$	$0.9409$	$6.3 %$

高いビルや山の高さなら、ずれは有効数字に乗りません。 $m g h$ で十分です。

国際宇宙ステーションの高度になると $6 %$ ずれます。 $1 kg$ を持ち上げるのに要る仕事は、正しくは $3.70 MJ$ 。 $m g h$ で計算すると $3.93 MJ$ と出て、 $0.2 MJ$ ほど多く見積もることになります。

$m g h$ が大きめに出るのは、高いところでは $g$ が小さくなっているのに、地表の値を使い続けているからです。

高度 $400 km$ での重力加速度は $8.7 m/ s^{2}$ ほど。地表の $9.8$ で通してしまうと、そのぶん仕事を多く数える。

例：地球と月のあいだ

地球と月を結ぶ線の上では、 $U$ は両方からの寄与の和になります。地球に近いほど地球の項が深く、月に近いほど月の項が深い。

あいだのどこかに、 $U$ がいちばん浅くなる点があります。傾きが $0$ の点なので、そこでは引力がつり合っている。

$\frac{M _{E}}{r ^{2}} = \frac{M _{M}}{( d - r ) ^{2}}$

質量比が $81.3$ なので $81.3 = 9.02$ 。地球中心から $r = d / (1 + 1/9.02)$ 、つまり約 $34.6$ 万 $km$ の位置です。

地球と月の距離が $38.4$ 万 $km$ なので、 $9$ 割ほど進んだところ。ここを越えれば、あとは月へ落ちていきます。

峠を越えるまでが上りで、越えたら下り。位置エネルギーの形が、そのまま地形の断面のように読めます。

符号の確かめ方

計算した $U$ が正になったら、まず式の符号を疑います。無限遠を基準にとるかぎり、引力による位置エネルギーは負にしかなりません。

差のほうは正にも負にもなります。遠ざかれば $Δ U > 0$ 、近づけば $Δ U < 0$ 。 $U$ そのものと $Δ U$ を取り違えると、ここで向きを間違えます。

もう一つの確かめは大きさです。地表の $1 kg$ なら $U = - 62.6 MJ$ 、脱出に要るエネルギーがちょうどこの大きさになります。

脱出速度から $\frac{1}{2} v^{2}$ を計算すると $\frac{1}{2} \times (11.2 \times 1 0^{3})^{2} = 62.7 MJ$ 。一致しました。

無限遠を基準にとったとき、地球を回る人工衛星の力学的エネルギーはどうなりますか。

正になる
負になる
$0$ になる

__RESULT__

軌道に留まっているということは、無限遠まで届かないということです。 $E \geq 0$ なら戻ってこないので、束縛されている衛星は $E < 0$ になります。

$m g h$ と $- GM m / r$ は別々の式ではなく、同じ関数を違う場所から見たものです。基準を無限遠へ移した瞬間に、符号が束縛の有無を語り始めます。

出典

13.4: Gravitational Potential Energy and Total Energy/Book:_University_Physics_I_-_Mechanics_Sound_Oscillations_and_Waves_(OpenStax)/13:_Gravitation/13.04:_Gravitational_Potential_Energy_and_Total_Energy). University Physics I, OpenStax / Physics LibreTexts.

Gravitational Potential Energy. HyperPhysics, Department of Physics and Astronomy, Georgia State University.

Énergie potentielle d'interaction gravitationnelle. Observatoire de Paris, ressources Lumière et Univers.

地表では $mgh$ と書き、遠くでは $-GMm/r$ と書きます。同じ位置エネルギーなのに符号が逆。違うのは物理ではなく、0 をどこに置いたかだけです。力が完全に消える無限遠を基準にとると、どの天体でも同じ 1 本の式が使える。そのかわり値はいつも負になり、その符号が「無限遠まで届かない」ことを表すようになります。$mgh$ が地表付近を切り取った形にすぎないこと、高度 400 km では 6 パーセントずれること、地球と月のあいだで位置エネルギーが峠になる場所まで。