こまの歳差運動（倒れる代わりに向きを変えている）

床に立てたコマを、回さずに手を離せば倒れます。回してから離すと倒れません。軸はゆっくり円を描き、しばらくそのまま立ち続ける。

重力は同じ大きさではたらいています。支点まわりの力のモーメントも同じ。違うのは、コマが角運動量を持っているかどうかだけです^[1]。

力のモーメントは角運動量を書き替える

回転の運動を決めるのは、次の $1$ 本です^[3]。

$$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{N}$$

$\vec{L}$ が角運動量、$\vec{N}$ が力のモーメント。左辺は $\vec{L}$ の変化で、右辺と同じ向きを向きます。

大事なのは、これがベクトルの式だということ。$\vec{N}$ は $\vec{L}$ の大きさではなく、$\vec{L}$ そのものを書き替えます。

止まっているコマ

回っていないコマの角運動量は $0$ です。ここに重力のモーメントが加わると、$\vec{L}$ は $0$ から $\vec{N}$ の向きへ育ちます。

$\vec{N}$ の向きは、コマが倒れる向きの回転を表しています。だから $\vec{L}$ が育つほど倒れる回転が速くなる。

そのまま横倒しになります。ふつうに倒れるという言い方が、ベクトルの言葉ではこうなる。

回っているコマ

回しておくと、$\vec{L}$ は最初から軸に沿って大きな値を持っています。

$\vec{N}$ は $\vec{r}\times m\vec{g}$ なので、軸とも重力とも直角を向く。つまり $\vec{L}$ と $\vec{N}$ が直角です^[1]。

直角な向きに足されると、ベクトルは長さを変えずに向きだけを変えます。円運動の速度と加速度の関係と同じ構図です。

$$|\vec{L}|\text{は変わらず、向きだけが回る}$$

軸は倒れる代わりに、鉛直軸のまわりを回り始めます。これが歳差運動です。

歳差の速さ

軸が鉛直から角 $\theta$ だけ傾いているとします。支点から重心までの距離を $r$、質量を $M$ とすると、力のモーメントの大きさは $rMg\sin \theta$ です^[1]。

短い時間 $dt$ のあいだに、$\vec{L}$ の先端は $rMg\sin \theta dt$ だけ横へ動きます。先端が描く円の半径は $L\sin \theta$。

$$d\phi =\frac{rMg\sin \theta dt}{L\sin \theta }=\frac{rMg}{L}dt$$

$\sin \theta$ が約分で消えました。歳差の角速度は次のようになります。

$${\omega }_{\mathrm{p}}=\frac{rMg}{L}=\frac{rMg}{I\omega }$$

傾きに依存しません。深く傾けても浅く傾けても、まわる速さは同じです^[1]。

コマが止まりぎわに急にふらつき出すのは、この反比例のためです。摩擦で $\omega$ が落ちるほど、歳差が加速する。

例：円板の歳差を計算する

質量 $0.30\mathrm{kg}$、半径 $5.0\mathrm{cm}$ の円板が毎秒 $20$ 回転しています。支点から重心までは $5.0\mathrm{cm}$^[1]。

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{1}{2}M{R}^2=3.75\times 10^{-4}\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\\ \omega & =20\times 2\pi =126rad/s\\ L& =I\omega =4.7\times 10^{-2}\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s\end{array}$$

力のモーメントは $rMg=0.050\times 0.30\times 9.8=0.147\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$。

$${\omega }_{\mathrm{p}}=\frac{0.147}{4.7\times 10^{-2}}\fallingdotseq 3.1rad/s$$

周期にすると $2.0$ 秒。円板は毎秒 $20$ 回転しているのに、軸のほうは $2$ 秒かけて $1$ 周します。

この $2$ つの速さが大きく離れていることが、上の式を導くときの前提でした^[1]。近い値になると、軸が上下に細かく揺れる動きが混ざってきます。

押した向きと動く向きがずれる

回転する車輪の軸を手で持ち、傾けようと押してみます。押した向きには動きません。直角の向きへ逃げていく。

大学の講義では、回転する自転車の車輪と回転台を組み合わせて見せる実演が定番です^[4]。車輪を横に倒すと、台のほうが回り出す。

原因は同じで、加えたモーメントが $\vec{L}$ の向きを変えるためです。直線運動の感覚では、押した向きに動くのが当たり前でした。回転ではそれが成り立ちません。

例：地球も歳差している

地球は自転で赤道側がふくらんでいます。自転軸が公転面に対して傾いているので、このふくらみは太陽や月に対して斜めを向いている^[2]。

太陽と月の引力は、ふくらみの近い側と遠い側で少し違います。この差がモーメントになり、傾きを起こす向きにはたらく。

地球は自転しているので、傾きが直るのではなく歳差が起きます。自転軸の向きが、$26000$ 年ほどかけて空を $1$ 周する^[2]。

いまの北極星はこぐま座の $\alpha$ 星ですが、$5000$ 年前はりゅう座の星でした。$12000$ 年後にはこと座のベガが近くに来ます。

春分点も星座の上をゆっくり移動します。占星術の星座と、実際に太陽が入る星座がずれているのはこのためです。

保存と歳差は別の話

外からのモーメントが $0$ なら、角運動量は大きさも向きも変わりません。回っているものが姿勢を保つのはこの場合です。

歳差はモーメントが $0$ でない場合に起きます。大きさは変わらず、向きだけが変わる。

コマの場合、重力のモーメントはちょうど $2$ 番目にあたります。軸を傾けたまま回している限り、この直角の関係が保たれ続ける。

大きさの見当をつける

${\omega }_{\mathrm{p}}=rMg/(I\omega )$ の形を、極端な場合で確かめます。

$\omega \to \infty$ とすれば ${\omega }_{\mathrm{p}}\to 0$。無限に速く回るコマは、まったく歳差せずに立ち続ける。

$\omega \to 0$ とすれば ${\omega }_{\mathrm{p}}\to \infty$。式が破れる場所で、実際には倒れます。導出の前提が成り立たなくなったためです。

$g\to 0$ でも ${\omega }_{\mathrm{p}}\to 0$。無重量の宇宙船の中では、コマは向きを変えずに回り続けます。どれも予想と合いました。

倒れる代わりに向きを変える。回転しているものは、加えられた力に対してこの答え方をします。

参考