円錐振り子とバンク角｜カーブの路面が内側へ傾く角度

糸で吊るしたおもりを水平な円の上で回すと、糸は鉛直から傾いたまま止まります。この運動を円錐振り子といいます。糸が円錐の側面をなぞる形になるので、この名前が付いた。

高速道路のカーブで路面が内側へ傾いているのも、競輪場のバンクが急な角度でそり立っているのも、同じ式で説明できます。傾きと速さと半径が、$1$ 本の関係式で結ばれる。

円錐振り子にはたらく力

おもりに働くのは重力と糸の張力の $2$ つだけです。この $2$ つを足した残りが、円の中心へ向かう向心力になる。

糸の傾きを $\theta$、張力を $S$ とし、鉛直方向と水平方向に分けます。周期の $T$ と紛れないよう、張力には $S$ を使います。

$$\begin{array}{rl}S\cos \theta & =mg\\ S\sin \theta & =\frac{m{v}^2}{r}\end{array}$$

鉛直方向はつり合っています。おもりは上下に動かないので、張力の鉛直成分が重力とちょうど等しい。

水平方向はつり合っていません。ここは運動方程式で、右辺が向心加速度に質量を掛けたものになる。

傾きは速さと半径だけで決まる

$2$ 本の式を割り算すると、張力 $S$ が消えます。

$$\tan \theta =\frac{v^2}{rg}$$

質量も消えました。重いおもりでも軽いおもりでも、同じ速さと同じ半径なら同じ角度で回る。

速さが上がるほど、また半径が小さいほど、糸は大きく開きます。逆に言えば、角度を見れば速さが分かる。

周期の形にすると長さが効く

円の半径は糸の長さ $L$ から $r=L\sin \theta$ と書けます。これを使って周期に直す。

$v=2\pi r/T$ を代入して整理すると、次の形になります。

$$T=2\pi \sqrt{\frac{L\cos \theta }{g}}$$

$L\cos \theta$ は、支点からおもりの回る面までの高さ。この高さだけで周期が決まります。

角度を大きくすると高さが減り、周期は短くなる。ここでも質量は入りません。

例：長さ 1.0 m の円錐振り子

糸の長さを $1.0\mathrm{m}$、傾きを $30$ 度とします。円の半径は $1.0\sin 30^{\circ }$ で $0.50\mathrm{m}$。

周期を先に出す。

$$T=2\pi \sqrt{\frac{1.0\times \cos 30^{\circ }}{9.8}}=2\pi \sqrt{0.088}=1.9\mathrm{s}$$

速さは $2\pi r/T$ から $1.7m/s$ です。$\tan 30^{\circ }=v^2/(rg)$ からも同じ値になる。

おもりが $0.20\mathrm{kg}$ なら、張力は $S=mg/\cos \theta$ で $2.3\mathrm{N}$。まっすぐ吊るしたときの $1.96\mathrm{N}$ より大きくなります。

傾いた路面も同じ式になる

カーブの路面が内側へ傾いていると、垂直抗力も傾きます。この抗力を鉛直と水平に分けると、円錐振り子とまったく同じ形の式が出る。

$$\begin{array}{rl}N\cos \theta & =mg\\ N\sin \theta & =\frac{m{v}^2}{r}\end{array}$$

割り算すれば $\tan \theta =v^2/(rg)$ です。糸の張力が垂直抗力に置きかわっただけで、構造は変わっていない。

摩擦がまったくなくても、この速さでなら曲がれます。凍った路面でも、設計速度で走るかぎり滑り出さない。

高校の問題では、この $2$ つが別の単元のように並びます。式を見比べれば、名前が違うだけの同じ問題だと分かる。

例：半径 100 m でバンク角 10 度

設計速度を出します。

$$v=\sqrt{rg\tan \theta }=\sqrt{100\times 9.8\times 0.176}=13m/s$$

時速なら $47\mathrm{km}$ ほど。一般道のカーブがこの程度の傾きなのは、想定している速度がその範囲だからです。

競技場では角度がずっと大きい。半径 $100\mathrm{m}$ でバンク角 $31$ 度なら、設計速度は $24m/s$ になります。

摩擦があると速さに幅が出る

実際のタイヤには摩擦があります。設計速度からずれても、摩擦が不足ぶんを補うので曲がれる。

速すぎるときは、摩擦が路面に沿って内向きに働きます。垂直抗力を $N$、静止摩擦係数を $\mu$ として立て直すと、上限が出る。

$$v_{\max }=\sqrt{rg\frac{\tan \theta +\mu }{1-\mu \tan \theta }}$$

半径 $100\mathrm{m}$、バンク角 $10$ 度、$\mu =0.60$ なら $29m/s$ です。時速 $105\mathrm{km}$ まで耐えられる計算になる。

傾けておくと、同じ摩擦でも出せる速さが上がります。バンクを付ける意味はここにある。

バイクが体ごと傾ける理由

二輪車には路面の傾きを使えない場面が多い。かわりに車体を傾け、路面からの力の向きを変えます。

傾きの条件は同じ $\tan \theta =v^2/(rg)$ です。半径 $20\mathrm{m}$ のカーブを $10m/s$ で曲がるなら、次のようになる。

$$\tan \theta =\frac{10^2}{20\times 9.8}=0.51⟹\theta =27^{\circ }$$

鉛直から $27$ 度倒す。倒さずに曲がろうとすると、路面からの力が重心を通らず、外へ倒れます。

角度から速さを読む

$\tan \theta =v^2/(rg)$ は、角度から速さを読む向きにも使えます。半径がわかっていれば、傾きを測るだけで速さが出る。