振り子の周期におもりの重さは効かない〜ガリレオの等時性

おもりを重い玉にとりかえても、振り子の周期は変わりません。振れ幅を少し広げても変わらない。効くのは糸の長さと、その場所の重力加速度だけです^[2]。

$$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

長さ $1\mathrm{m}$ で周期はおよそ $2$ 秒。式に $m$ も振れ角も入っていないところが、この運動のいちばんの特徴になります。

復元力は重力の接線成分

糸で吊るしたおもりを横へずらすと、重力と張力が働きます。張力は糸に沿う向きなので、動く向きには効きません。

効くのは重力の接線成分だけ。糸が鉛直から $\theta$ だけ傾いているとき、その大きさは $mg\sin \theta$ になります^[4]。

向きは、つねに真下の位置へ引き戻す側です。だから復元力になる。

小さい角では sin を落とせる

$\sin \theta$ が入っていると、単振動の形になりません。ここで近似を使います。

$\theta$ をラジアンで測ると、小さい角では $\sin \theta$ と $\theta$ がほとんど同じ値になる。$15$ 度より小さければ、ずれは $1$ パーセントに収まります^[1]。

真下からの水平方向のずれを $x$ とすると $x=L\theta$ なので、復元力は次の形になる^[2]。

$$F=-mg\sin \theta \fallingdotseq -mg\theta =-\frac{mg}{L}x$$

ずれに比例する力。ばねと同じ形で、ばね定数にあたるのが $mg/L$ です。

質量が消える

単振動の周期の式 $T=2\pi \sqrt{m/k}$ に、$k=mg/L$ を入れます。

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{mg/L}}=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

分母にも分子にも $m$ があって、約分で消えました^[2]。

重いおもりは強く引かれますが、そのぶん動きにくい。$2$ つの効果がちょうど打ち消し合うので、周期に質量が残りません。落体が質量によらないのと同じ理屈です。

例：長さから周期を出す

$L=1.0\mathrm{m}$ で計算します。

$$T=2\pi \sqrt{\frac{1.0}{9.8}}=2\pi \times 0.319=2.0\mathrm{s}$$

$1$ 往復に $2$ 秒。片道は $1$ 秒なので、$1$ 秒ごとに音を鳴らす装置になります。

周期をちょうど $2$ 秒にしたいなら、長さを逆算する。

$$L=\frac{g{T}^2}{4{\pi }^2}=\frac{9.8\times 4}{39.5}=0.99\mathrm{m}$$

$99\mathrm{cm}$ です。この長さの振り子を秒振り子といい、古い時計の基準に使われました。

長さと周期は平方根の関係

$T$ は $\sqrt{L}$ に比例します。長さを $4$ 倍にしても、周期は $2$ 倍にしかなりません。

$2$ 倍にしたければ長さを $4$ 倍。$3$ 倍にしたければ $9$ 倍。長い振り子を作るのが大変なのは、この効きの弱さのためです。

ガリレオが $1638$ 年にたどり着いたのも、周期の $2$ 乗が長さに比例するという形でした^[3]。

等時性は近似でしかない

振れ幅を変えても周期が変わらないことを等時性といいます。ガリレオが $1583$ 年に見つけたとされる性質です^[3]。

ただし厳密には成り立ちません。$\sin \theta$ を $\theta$ に置きかえた時点で、近似が入っているからです。

振れ角を ${\theta }_0$ とすると、周期は次のように伸びます^[1]。

$$T=T_0\left(1+\frac{{\theta }_0^2}{16}+\cdots \right)$$

$10$ 度なら $0.2$ パーセント、$30$ 度なら $1.7$ パーセントの伸び。角度が小さいうちは無視できますが、大きくすると効いてきます。

例：振り子時計のずれ

$1$ 日は $86400$ 秒です。振れ角が $30$ 度もあると、$1.7$ パーセントで $1470$ 秒ずれます。

$1$ 日に $25$ 分近い遅れ。時計としては使いものになりません。だから振り子時計の振れ幅は小さくとってあります。

ホイヘンスはこの問題に気づき、糸の上部にサイクロイドの形をした板を添え、振れ幅によらない周期を実現しました^[3]。

重力加速度を測る道具になる

周期の式を $g$ について解くと、測定の道具に変わります。

$$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$$

長さと時間さえ測れれば $g$ が出る。どちらも精度よく測れる量なので、この方法は長く使われました^[1]。

例：測った周期から g を出す

$L=1.00\mathrm{m}$ の振り子で、$1$ 往復に $2.01$ 秒かかったとします。

$$g=\frac{4{\pi }^2\times 1.00}{2.01^2}=\frac{39.5}{4.04}=9.77m/{\mathrm{s}}^2$$

$1$ 往復を測ると誤差が大きいので、実際には $50$ 往復や $100$ 往復の時間を測って割ります。

長さが $0.01$ パーセント伸びると、周期は $0.005$ パーセント伸びます。$1$ 日で $4.3$ 秒の遅れ。夏と冬で時計が狂う原因になりました。

火星に持っていくとどうなるか

まちがえやすいところ

参考文献