力学的エネルギー保存則｜基準の高さは任意にとれる

エネルギーで解くと、途中の経路を追わずに済みます。始めと終わりの $2$ つの状態だけ書けばよい。

速さだけを聞かれている問題では、運動方程式より短い道になります。時間が出てこないぶん、式も減る。

使えるのは保存力だけのとき

重力と弾性力しか働いていなければ、次の $E$ は動きません^[1]。

$$E=\frac{1}{2}m{v}^2+mgh+\frac{1}{2}k{x}^2$$

摩擦や空気抵抗が働くときは、この和が減る。減った量が、それらの力がした仕事の大きさになります^[1]。

摩擦の仕事は、摩擦力と滑った距離の積で出せます。だから経路を追う必要が出てくる。エネルギーで解く手軽さは、保存力だけのときの話です。

基準はどこにとってもよい

位置エネルギーの値そのものには意味がありません。効くのは $2$ 点の差だけ^[3]。

基準を上げれば両方の値が同じだけ下がるので、差は変わらない。だから計算が楽になる場所を選びます^[2]。

ふつうは低いほうの点を基準にとります。そうすれば片方の位置エネルギーが $0$ になり、書く項が $1$ つ減る。

例：高さ 5.0 m から落とす

静かに手を離した物体が、地面に届くときの速さを出します。基準を地面にとりました。

$$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2⟹v=\sqrt{2gh}$$

質量が消えます。$h=5.0\mathrm{m}$ を入れる。

$$v=\sqrt{2\times 9.8\times 5.0}=9.9m/s$$

例：同じ高さの斜面をすべる

なめらかな斜面を $5.0\mathrm{m}$ の高さから滑り降りた場合も、式は変わりません。垂直抗力は動く向きと直角なので仕事をしない。

答えは $9.9m/s$ で同じになります^[3]。斜面の角度も、曲がっているかどうかも効かない。

効くのは高さの差だけ。経路を追わなくてよいのが、エネルギーで解く利点です。

例：摩擦のある斜面

$30$ 度の斜面を、質量 $2.0\mathrm{kg}$ の物体が斜面に沿って $10\mathrm{m}$ 滑り降ります。動摩擦係数は $0.20$。

下がった高さは $10\sin 30^{\circ }$ で $5.0\mathrm{m}$ なので、位置エネルギーは $98\mathrm{J}$ 減ります。

摩擦力は $\mu mg\cos \theta$ で、$0.20\times 19.6\times 0.866$ の $3.39\mathrm{N}$。これが $10\mathrm{m}$ にわたって働く。

$$W=3.39\times 10=34\mathrm{J}$$

残りが運動エネルギーになります^[1]。

$$\frac{1}{2}\times 2.0\times v^2=98-34⟹v=8.0m/s$$

摩擦がなければ $9.9m/s$ でした。$34\mathrm{J}$ が熱に変わったぶん、速さが落ちている^[3]。

例：ばねで押し出す

ばね定数 $200N/m$ のばねを $0.20\mathrm{m}$ 縮め、$0.50\mathrm{kg}$ の物体を押し出します。床はなめらかとする。

たくわえられた弾性エネルギーは、三角形の面積で出ます。

$$U=\frac{1}{2}\times 200\times 0.20^2=4.0\mathrm{J}$$

ばねが自然の長さに戻ったところで、全部が運動エネルギーへ移る。

$$\frac{1}{2}\times 0.50\times v^2=4.0⟹v=4.0m/s$$

例：ばねで斜面を押し上げる

同じばねで、同じ物体を $30$ 度のなめらかな斜面へ押し出します。どこまで上がるか。

$4.0\mathrm{J}$ がすべて位置エネルギーに変わったところで止まる。

$$0.50\times 9.8\times h=4.0⟹h=0.82\mathrm{m}$$

斜面に沿った距離は $0.82/\sin 30^{\circ }$ で $1.6\mathrm{m}$ です。高さで答えるか斜面に沿った長さで答えるかは、問題文の聞き方で決まる。

例：振り子の最下点

長さ $1.5\mathrm{m}$ の糸を $30$ 度まで持ち上げて放します。最下点からの高さは $L(1-\cos \theta )$。

$$h=1.5(1-0.866)=0.20\mathrm{m}$$

あとは落下と同じ式です^[1]。

$$v=\sqrt{2\times 9.8\times 0.20}=2.0m/s$$

糸の張力は、つねに動く向きと直角なので仕事をしません。円弧を描いていても、高さの差だけで答えが出る。

例：ループの最高点

半径 $2.0\mathrm{m}$ の輪の最下点を、$12m/s$ で通過します。最高点は $4.0\mathrm{m}$ 上。

$$v^2=12^2-2\times 9.8\times 4.0=65.6⟹v=8.1m/s$$

回りきれる下限は $\sqrt{gr}$ で $4.4m/s$ です^[3]。$8.1$ はこれを上回っているので、輪から離れずに $1$ 周できる。

答えを確かめる

エネルギーで出した答えは、運動方程式で解き直すと突き合わせられます。同じ問題を別の道具で解く形になるので、計算違いが見つかりやすい。

摩擦のある斜面の例でやってみます。斜面方向の加速度は次のとおり。

$$a=9.8(\sin 30^{\circ }-0.20\cos 30^{\circ })=3.2m/{\mathrm{s}}^2$$

初速 $0$ で $10\mathrm{m}$ 進んだときの速さを、時間の入らない式で出す。

$$v^2=2\times 3.2\times 10=64⟹v=8.0m/s$$

一致しました。逆に食い違ったときは、摩擦力に $\cos \theta$ を掛け忘れているか、高さに $\sin \theta$ を掛け忘れているかのどちらかであることが多い。

基準を変えて解く

参考