物体が倒れる条件と滑る条件〜摩擦係数と重心の高さ

板の上に箱を置き、板をゆっくり傾けていきます。ある角度で箱は動き出す。ずるっと滑り落ちるか、ごろんと倒れるか。

どちらが起きるかは、摩擦係数と箱の形の比べ合いで決まります^[1]。重さは効きません。

滑り出す角は摩擦係数だけで決まる

斜面に置いた物体には、斜面に沿う向きに $mg\sin \theta$ がかかります。押しつける力は $mg\cos \theta$ なので、静止摩擦の上限は $\mu mg\cos \theta$。

動き出すのは、下向きの成分が上限を超えたときです。

$$mg\sin \theta >\mu mg\cos \theta ⟹\tan \theta >\mu$$

質量が消えました^[3]。重い箱でも軽い箱でも、滑り出す角は同じ。この角を摩擦角といいます。

$\mu =0.50$ なら $\arctan 0.50$ でおよそ $26$ 度になる^[3]。

倒れる角は箱の形だけで決まる

倒れるかどうかは、重心から真下へ引いた線がどこを通るかで決まります^[2]。線が底面の内側を通っているうちは倒れません。

底面の下側の端を越えた瞬間に、その端を軸として回り始める。

幅 $b$、高さ $h$ の一様な箱なら、重心は底面から $h/2$、下側の端から $b/2$ の位置にある。境目の条件はこうなります。

$$\tan \theta >\frac{b}{h}$$

こちらには摩擦が入りません。細長い箱ほど倒れやすく、平たい箱ほど倒れにくい。

先に来るほうが起きる

$2$ つの条件は、どちらも $\tan \theta$ の大小で書けています。だから比べるのは $\mu$ と $b/h$ だけ^[1]。

$\mu$ のほうが小さければ、先に摩擦の限界が来て滑ります。$b/h$ のほうが小さければ、先に重心の線が端を越えて倒れる。

$2$ つがちょうど等しいときは、滑り出しと倒れ始めが同じ角度でそろう。

例：同じ箱を 2 つの床に置く

幅 $0.40\mathrm{m}$、高さ $1.2\mathrm{m}$ の箱を考えます。形の比は $b/h=0.33$ なので、倒れる角は $\arctan 0.33$ の $18$ 度になる。

摩擦係数が $0.20$ の床なら、滑り出す角は $\arctan 0.20$ で $11$ 度です。$11$ 度のほうが先に来るので滑る。

摩擦係数が $0.60$ の床では、滑り出す角が $31$ 度になります。$18$ 度で先に重心の線が端を越えるので、こちらは倒れる。

同じ箱でも、床が変われば結果が入れかわります。箱の側を変えても同じで、高さを $2$ 倍にすれば $b/h$ が半分になり、倒れやすくなる。

横から押す場合も同じ比べ方になる

水平な床に置いた箱を、高さ $a$ のところで水平に押します。滑らせるのに要る力は $\mu mg$。

倒すのに要る力は、下側の端まわりのモーメントで決まります^[2]。押す力のモーメント $Fa$ が、重力のモーメント $mgb/2$ を超えたとき。

$$F>\frac{mgb}{2a}$$

小さいほうの力で先に起きる。押す位置が高いほど $Fa$ が稼げるので、倒れるほうが起きやすくなります。

例：高いところを押す

質量 $20\mathrm{kg}$、幅 $0.40\mathrm{m}$ の箱を、高さ $0.90\mathrm{m}$ で押します。床の摩擦係数は $0.50$。

滑らせるには $0.50\times 196$ で $98\mathrm{N}$ が要る。倒すほうは次のようになります。

$$F=\frac{196\times 0.40}{2\times 0.90}=44\mathrm{N}$$

$44\mathrm{N}$ のほうが先に届くので、箱は倒れます。低いところを押せば結果は変わる。押す高さが $0.20\mathrm{m}$ なら倒すのに $196\mathrm{N}$ 要り、先に滑り出す。

家具を動かすとき下のほうを押すのは、この計算どおりの知恵です。

車が横転するとき

同じ考え方が車にも当てはまります。カーブで外向きに効く加速度が大きくなると、内側のタイヤが浮く。

左右のタイヤの間隔を $T$、重心の高さを $H$ とすると、境目は $T/(2H)$ です^[4]。この値を静的安定係数といい、乗用車でおよそ $1.4$、車高の高い車では $1.2$ ほどになる^[4]。

$$\frac{v^2}{rg}>\frac{T}{2H}$$

半径 $50\mathrm{m}$ のカーブなら、$1.4$ の車で $26m/s$、$1.2$ の車で $24m/s$ が目安になる。

ただし乾いた舗装路のタイヤの摩擦係数は $0.9$ ほど。$1.2$ より小さいので、ふつうは横転より先に横滑りが起きます。

縁石や砂利で横滑りが急に止められると、そこが軸になって転がる。車高の高い車の横転が問題になるのは、この止められ方が起きたときです。

押す高さを変えると

出典