単振動と等速円運動（位相・速度・加速度のずれ）

一定の速さで円周をまわる点に、横から光を当てて壁に影を落とします。影は左右に往復し、その動きがちょうど単振動になります^[1]。

円の半径が振幅、円運動の角速度が角振動数。$2$ つの運動は別物に見えて、片方をもう片方の影として作れます。

位置も速度も加速度も、この見方から $1$ 行ずつ出てきます。位相のずれがなぜ $90^{\circ }$ と $180^{\circ }$ なのかも、円の図で読める。

影の位置

半径 $A$ の円周上を角速度 $\omega$ でまわる点を考えます。時刻 $t$ での角度を $\omega t+\phi$ とする。

この点の $x$ 座標が影の位置です。

$$x(t)=A\cos (\omega t+\phi )$$

$A$ は円の半径そのもの、つまり振幅。$\phi$ は $t=0$ での角度で、初期位相といいます^[2]。

角速度 $\omega$ は $1$ 秒あたり何ラジアン進むかを表します。$1$ 周に $2\pi$ 要るので、周期は $T=2\pi /\omega$。

速度は接線の影

円運動の速度は、円周に接する向きを向いています。大きさは $A\omega$ で一定。

この接線ベクトルを $x$ 軸へ射影したものが、影の速度になります。

$$v(t)=-A\omega \sin (\omega t+\phi )$$

大きさの最大値は $A\omega$。円運動の速さがそのまま上限になります。

影がいちばん速いのは、点が円の上端か下端にいるときです。そのとき接線が $x$ 軸と平行になり、射影で長さを失いません。

そこは影の位置でいえば中央、$x=0$ の場所。単振動でいちばん速いのがつり合いの位置になる理由です。

加速度は向心加速度の影

円運動の加速度は、いつでも中心を向いています。大きさは $A{\omega }^2$。

これを射影します。

$$a(t)=-A{\omega }^2\cos (\omega t+\phi )=-{\omega }^{2}x$$

最後の形が単振動の定義そのものです。加速度が変位に比例し、向きが逆になる^[2]。

中心向きのベクトルを射影すれば、必ず原点を向く成分になります。だから復元力の形が自動的に出てくる。

位相のずれ

$3$ つの式を並べると、ずれ方が見えます。

円の図で言えば、速度の向きは位置の向きから $90^{\circ }$ 回っていて、加速度の向きは $180^{\circ }$ 回っています。回転する図形の中では、微分が $90^{\circ }$ の回転にあたる。

だから $2$ 回微分すれば $180^{\circ }$ 回って、もとの向きの逆になります。$a=-{\omega }^{2}x$ の負号はここから来ています。

例：数値で追う

振幅 $0.10\mathrm{m}$、周期 $0.50$ 秒の単振動を考えます。$\omega =2\pi /0.50=12.6rad/s$。

$$\begin{array}{rl}{v}_{\max }& =A\omega =0.10\times 12.6=1.26m/s\\ a_{\max }& =A{\omega }^2=0.10\times 158=15.8m/{\mathrm{s}}^2\end{array}$$

加速度の最大値が $g$ を超えました。振幅が小さくても、周期が短ければ加速度は大きくなります。

$\omega$ が $2$ 乗で効くためです。周期を半分にすれば、同じ振幅でも加速度は $4$ 倍になる。

例：グラフから読む

$3$ つのグラフを縦に並べると、山と谷の位置がずれて並びます。

$x$ が最大のとき $v$ は $0$、$a$ は最小。$x$ が $0$ のとき $v$ は最大か最小で、$a$ は $0$。

この対応を覚えるより、円の図を思い出すほうが早い。点が右端にいるとき、速度は真上か真下を向いていて $x$ 成分を持ちません。

例：初期条件から振幅と位相を出す

$t=0$ で $x_0=0.060\mathrm{m}$、$v_0=-0.80m/s$、$\omega =12.6rad/s$ とします。

円の図では、$t=0$ の点の座標が $(x_0,-v_0/\omega )$ にあたります。半径は $2$ 成分から出る。

$$A=\sqrt{x_0^2+{\left(\frac{v_0}{\omega }\right)}^2}=\sqrt{0.060^2+0.0636^2}\fallingdotseq 0.087\mathrm{m}$$

位相はその点の偏角です。$\cos \phi =0.060/0.087=0.69$、$\sin \phi =0.80/(0.087\times 12.6)=0.73$ から $\phi \fallingdotseq 47^{\circ }$。

振幅も位相も、円の上の $1$ 点を決めれば同時に決まります。三平方の定理と偏角を使うだけで済む。

円運動は 2 つの単振動でできている

逆向きにも読めます。$x$ 方向と $y$ 方向に、位相が $90^{\circ }$ ずれた同じ振幅の単振動を重ねると、等速円運動になります^[2]。

$$\begin{array}{rl}x& =A\cos \omega t\\ y& =A\sin \omega t\end{array}$$

位相差を $0$ にすると、点は斜め $45^{\circ }$ の直線の上を往復します。$90^{\circ }$ で円、その中間では楕円。

位相差だけで直線から円まで連続に変わる。オシロスコープに映るリサジュー図形は、この対応を使って位相を読みとる道具です。

つまずきやすいところ

円をひとつ描いて、点をまわす。単振動の式は、その図を $x$ 軸へ落としたものとして全部並んでいます。

参考文献