糸と滑車でつないだ 2 物体（運動方程式を連立して張力を消す）

糸でつながれた $2$ 物体の問題は、どちらから手をつけるか迷うところです。答えは決まっていて、物体ごとに $1$ 本ずつ運動方程式を立てる。

$2$ 物体なら $2$ 本。未知数は加速度と張力の $2$ つなので、これで解けます。迷うのは、立てる前に「どちらが引っぱるか」を考えてしまうから。

立てる手順は 3 つ

順序を決めておけば、どの問題でも同じ手が使えます。

切り離したときに、糸は張力という力に置きかわります。軽い糸がなめらかな滑車を通るとき、張力は糸のどこでも同じ大きさになる。

加速度が等しいという条件

糸が伸びないので、片方が $1\mathrm{cm}$ 動けばもう片方も $1\mathrm{cm}$ 動きます。速さも加速度も、大きさは同じ。

向きは違います。滑車をはさんだ $2$ 物体では、片方が下がるとき、もう片方は上がる。

だから正の向きを別々に決めます。「動く向きを正」とそろえておけば、どちらの式でも加速度は同じ記号 $a$ で書けて、符号で悩まずに済む。

例：接触した 2 物体を押す

質量 $2.0\mathrm{kg}$ と $3.0\mathrm{kg}$ の物体を並べ、$10\mathrm{N}$ で押します。摩擦はないものとする。

$2$ 物体は離れないので、加速度は共通です。全体を $1$ つと見れば先に $a$ が出る。

$$a=\frac{10}{2.0+3.0}=2.0m/{\mathrm{s}}^2$$

接触面で押し合う力は、後ろの物体の式から出ます。$3.0\mathrm{kg}$ のほうを押しているのは接触力だけ。

$$N=3.0\times 2.0=6.0\mathrm{N}$$

全体で見ると内力は消えるので、加速度だけが出ます。個々の力を知りたいときは、切り離した式が要る。

例：机の上の物体と吊るした物体

なめらかな机の上に $3.0\mathrm{kg}$ を置き、机の端の滑車を通して $2.0\mathrm{kg}$ を吊るします。

机の上の物体には、水平方向には張力しかかかりません。吊るしたほうには、重力と張力が逆向きにかかる。

$$\begin{array}{rl}3.0a& =T\\ 2.0a& =2.0\times 9.8-T\end{array}$$

$2$ 本を足すと $T$ が消えます。この消え方が、切り離して立てる利点です。

$$5.0a=19.6⟹a=3.9m/{\mathrm{s}}^2$$

張力は上の式に戻して $T=3.0\times 3.92=12\mathrm{N}$。吊るした物体の重さ $19.6\mathrm{N}$ より小さくなっています。

小さくなるのは当然で、等しければ加速度が $0$ になってしまう。動いている以上、差がなければおかしい。

例：アトウッドの機械

滑車の両側に $3.0\mathrm{kg}$ と $2.0\mathrm{kg}$ を吊るします。$1784$ 年にアトウッドが作った装置で、重力加速度を測るために使われました。

重いほうが下がる向きを正とする。

$$\begin{array}{rl}3.0a& =3.0\times 9.8-T\\ 2.0a& =T-2.0\times 9.8\end{array}$$

足して $T$ を消します。

$$a=\frac{(3.0-2.0)\times 9.8}{3.0+2.0}=2.0m/{\mathrm{s}}^2$$

質量の差を合計で割った形。差が小さいほど加速度が小さくなり、落ち方をゆっくり観察できます。自由落下では速すぎて測れなかったものが、これなら測れる。

張力のほうは $2m_1{m}_{2}g/(m_1+m_2)$ で $24\mathrm{N}$ です。

質量の差を小さくすると、加速度はいくらでも小さくできます。手で計れる速さまで落とせるところが、この装置の値打ちでした。

摩擦があるとどうなるか

机の上の物体に摩擦が働くと、その力が張力と逆向きに入ります。動摩擦係数を $\mu$ として書き直す。

$$\begin{array}{rl}3.0a& =T-\mu \times 3.0\times 9.8\\ 2.0a& =2.0\times 9.8-T\end{array}$$

$\mu =0.20$ を入れて足すと、$5.0a=19.6-5.88$ になります。

$$a=\frac{13.7}{5.0}=2.7m/{\mathrm{s}}^2$$

摩擦がないときの $3.9m/{\mathrm{s}}^2$ から下がりました。張力は $14\mathrm{N}$ に上がります。

摩擦のぶん机の上の物体が進みにくくなるので、糸はより強く引かれる。感覚とは逆に思えるところですが、式はそうなっています。

加速度だけ聞かれているなら全体で。張力も聞かれているなら切り離して。問われているものを見てから、どちらで行くか決めます。

張力はどのくらいの大きさになるか

張力の値を計算する前に、どのくらいの大きさになるかは見当がつきます。下がる側と上がる側で、重さとの大小が逆になるためです。