運動方程式の計算問題〜物体を切り離して力を書き出す手順

運動方程式そのものは $ma=F$ の $1$ 行しかない。つまずくのは式の形ではなく、右辺に何を書くかのほうです。

手順はどの問題でも変わらない。物体を $1$ つ切り離し、それにかかる力だけを書き出し、正の向きを決めてから足します^[1]。

書き出す力は、接触しているものからの力と重力に限られる。「勢い」や「向心力」を書き足すと、二重に数えることになります。

$2$ 物体なら、この手順を $2$ 回まわして式を $2$ 本立てます^[1]。

例：水平に引く

なめらかな床に置いた $4.0\mathrm{kg}$ の物体を、水平に $12\mathrm{N}$ で引きます。鉛直方向はつり合っているので、書くのは水平方向だけになる。

$$4.0a=12⟹a=3.0m/{\mathrm{s}}^2$$

例：摩擦のある床で引く

同じ物体を、動摩擦係数 $0.20$ の床で引きます。垂直抗力は $4.0\times 9.8$ で $39.2\mathrm{N}$。

摩擦力はその $0.20$ 倍で $7.84\mathrm{N}$、向きは進む向きと逆です。

$$4.0a=12-7.84⟹a=1.0m/{\mathrm{s}}^2$$

摩擦力を先に数値にしておくと、符号を落としにくくなる。

例：なめらかな斜面をすべる

$30$ 度の斜面では、軸を斜面に沿ってとるのが定石です^[1]。重力を斜面方向と垂直方向に分ける^[2]。

斜面方向の成分は $mg\sin \theta$、垂直方向は $mg\cos \theta$ になる。動くのは斜面方向だけなので、そちらを書きます。

$$ma=mg\sin 30^{\circ }⟹a=9.8\times 0.50=4.9m/{\mathrm{s}}^2$$

$m$ が消えました。斜面をすべる加速度は、質量によらず角度だけで決まる^[2]。

例：摩擦のある斜面

同じ斜面に動摩擦係数 $0.30$ を入れます。垂直抗力は $mg\cos 30^{\circ }$ なので、摩擦力は $0.30mg\cos 30^{\circ }$。

$$ma=mg\sin 30^{\circ }-0.30mg\cos 30^{\circ }$$

両辺を $m$ で割ると、やはり質量が消える。

$$a=9.8(0.500-0.300\times 0.866)=2.4m/{\mathrm{s}}^2$$

$\sin \theta$ が $\mu \cos \theta$ より小さければ右辺が負になり、物体は動き出しません。境目は $\tan \theta =\mu$ で、この場合は $17$ 度。

例：エレベーターの中の体重計

質量 $60\mathrm{kg}$ の人が体重計に乗ります。体重計が押し返す力を $N$ として、人について式を立てます。上向きを正にとった。

$$60a=N-60\times 9.8$$

上向きに $2.0m/{\mathrm{s}}^2$ で加速しているとき、$N=60(9.8+2.0)$ で $708\mathrm{N}$^[1]。

下向きに $2.0m/{\mathrm{s}}^2$ なら $N=60(9.8-2.0)$ で $468\mathrm{N}$ になる。ロープが切れて自由落下すれば $a=-9.8$ で $N=0$ です。

一定の速さで上がっているあいだは $a=0$ なので、$588\mathrm{N}$ のまま動かない。効くのは速さではなく加速度です。

例：接触した 2 物体を押す

$1.5\mathrm{kg}$ と $2.5\mathrm{kg}$ の物体を並べ、$12\mathrm{N}$ で押します。摩擦はないものとする。

全体を $1$ つと見れば、加速度がすぐ出る。

$$a=\frac{12}{1.5+2.5}=3.0m/{\mathrm{s}}^2$$

接触面で押し合う力は、後ろの $2.5\mathrm{kg}$ について立てた式から出ます。この物体を押しているのは接触力だけ。

$$N=2.5\times 3.0=7.5\mathrm{N}$$

例：机の上と吊るした物体

なめらかな机に $4.0\mathrm{kg}$ を置き、端の滑車を通して $1.0\mathrm{kg}$ を吊るします。動く向きを正にそろえて $2$ 本立てる^[3]。

$$\begin{array}{rl}4.0a& =T\\ 1.0a& =1.0\times 9.8-T\end{array}$$

足すと $T$ が消える。

$$5.0a=9.8⟹a=2.0m/{\mathrm{s}}^2$$

張力は上の式に戻して $T=4.0\times 1.96$ でおよそ $7.8\mathrm{N}$。吊るした物体の重さ $9.8\mathrm{N}$ より小さくなっています。

例：斜面と滑車を組み合わせる

$30$ 度のなめらかな斜面に $2.0\mathrm{kg}$ を置き、頂点の滑車を通して $3.0\mathrm{kg}$ を吊るします。吊るしたほうが下がる向きを正とする。

$$\begin{array}{rl}3.0a& =3.0\times 9.8-T\\ 2.0a& =T-2.0\times 9.8\times \sin 30^{\circ }\end{array}$$

足して $T$ を消すと、右辺は $29.4-9.8$ になる。

$$5.0a=19.6⟹a=3.9m/{\mathrm{s}}^2$$

張力は $T=3.0(9.8-3.92)$ でおよそ $17.6\mathrm{N}$。下の式へ入れると $17.6-9.8=7.8$ で、$2.0\times 3.92$ と一致します。

$2$ 本のうち片方で答えを出し、もう片方で確かめる。これが立式の検算になる。

例：糸が切れた瞬間

さきほどの斜面の問題で、糸が切れたとします。吊るした $3.0\mathrm{kg}$ は自由落下に変わり、$a=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ で落ちる。

斜面の $2.0\mathrm{kg}$ からは張力が消え、重力の斜面成分だけが残る。

$$a=-9.8\times \sin 30^{\circ }=-4.9m/{\mathrm{s}}^2$$

正の向きに対して負なので、斜面を下る向きに $4.9m/{\mathrm{s}}^2$。切れる前は上っていたぶん、いったん減速してから戻ってきます。

立てた式で確かめる

式を立てたあと、答えの大小に見当がつくかを確かめておくと、符号のとり違えに気づけます。吊るした物体の張力なら、重さより大きいか小さいかが先に読める。

まちがえやすいところ

出典