終端速度と空気抵抗〜雨粒の速さが増えなくなるまで

直径 $2\mathrm{mm}$ の雨粒は、秒速 $7\mathrm{m}$ ほどで落ちてきます。雲の高さが $1\mathrm{km}$ でも $3\mathrm{km}$ でも、地面に着くときの速さは変わりません。

自由落下なら $1\mathrm{km}$ で秒速 $140\mathrm{m}$ に達する計算です。実際にそうなっていたら、雨の日に外へ出られない。

空気抵抗が速さとともに増え、あるところで重力とつり合うためです。そこから先は加速しません。

空気抵抗には 2 つの型がある

抵抗の大きさは速さで決まりますが、決まり方が $2$ 通りあります^[2]。

遅くて小さいものでは、速さに比例します。粘性が効く領域で、球ならストークスの法則が使えます^[1]。

$$F=6\pi \eta rv$$

速くて大きいものでは、速さの $2$ 乗に比例します。前方の空気を押しのける効果が主になる領域です^[1]。

$$F=\frac{1}{2}C\rho A{v}^2$$

$C$ は形で決まる抵抗係数、$\rho$ は空気の密度、$A$ は進行方向から見た断面積。ふだん目にする落下は、ほとんどがこちらの型です。

つり合ったところで頭打ちになる

$2$ 乗の型で、重力とつり合う速さを出します。

$$mg=\frac{1}{2}C\rho A{v}^2$$

$$v_{\mathrm{T}}=\sqrt{\frac{2mg}{C\rho A}}$$

これが終端速度です^[1]。質量が大きいほど速く、断面積が大きいほど遅い。

質量は平方根で効くので、$2$ 倍重くしても $1.4$ 倍にしかなりません。効き方が鈍い。

例：雨粒

直径 $2\mathrm{mm}$ の水滴の質量は $4.2\times 10^{-6}\mathrm{kg}$、断面積は $3.1\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$ です。球の抵抗係数を $0.45$、空気の密度を $1.2kg/{\mathrm{m}}^3$ とします。

$$v_{\mathrm{T}}=\sqrt{\frac{2\times 4.2\times 10^{-6}\times 9.8}{0.45\times 1.2\times 3.1\times 10^{-6}}}\fallingdotseq 7m/s$$

直径が $4\mathrm{mm}$ になると秒速 $9\mathrm{m}$ ほど^[3]。これが雨粒のだいたい上限で、これより大きい水滴は落ちながら分裂します。

大きいほど速いのは、質量が半径の $3$ 乗で増えるのに対し、断面積は $2$ 乗でしか増えないためです。$v_{\mathrm{T}}$ は半径の平方根に比例して伸びる。

例：霧の粒は落ちてこない

直径 $10\mu \mathrm{m}$ の霧の粒では、速さも大きさも小さいので比例の型を使います^[1]。

ストークスの法則と重力をつり合わせると、次の形になります。

$$v_{\mathrm{T}}=\frac{2{\rho }_{\mathrm{w}}g{r}^2}{9\eta }\fallingdotseq 3mm/s$$

秒速 $3\mathrm{mm}$。$1\mathrm{km}$ 落ちるのに $4$ 日近くかかります。

雲が浮いて見えるのはこのためです。浮いているのではなく、落ちる速さがゆっくりすぎて、上昇気流に負けている。

例：スカイダイバー

質量 $85\mathrm{kg}$、大の字の姿勢で断面積 $0.70{\mathrm{m}}^2$、抵抗係数 $1.0$ とすると、終端速度は秒速 $44\mathrm{m}$ です^[1]。

頭から突っ込む姿勢に変えると、断面積が $0.18{\mathrm{m}}^2$、抵抗係数も $0.70$ に下がります。同じ人の終端速度が秒速 $98\mathrm{m}$ まで上がる。

質量は変わっていません。変わったのは形だけです。

パラシュートを開くと断面積が一気に増え、終端速度は秒速 $5\mathrm{m}$ ほどに落ちます。着地できる速さまで下げるのが、あの布の役目です。

近づき方は指数的

$2$ 乗の型で運動方程式を解くと、速さの時間変化が出ます。

$$v(t)=v_{\mathrm{T}}\tanh \left(\frac{gt}{v_{\mathrm{T}}}\right)$$

$t=v_{\mathrm{T}}/g$ のとき $\tanh 1=0.76$ なので、終端速度の $76\%$ に達します^[2]。

大の字のスカイダイバーなら $v_{\mathrm{T}}/g=4.5$ 秒。飛び降りて $5$ 秒ほどで、もう最高速に近い。

厳密には終端速度に届きません。いくら待っても $v_{\mathrm{T}}$ そのものにはならず、限りなく近づくだけです。

投げ上げは対称でなくなる

抵抗がなければ、上りにかかる時間と下りにかかる時間は同じでした。戻ってきたときの速さも初速と同じ。

抵抗があると、この対称性が崩れます。上りでは重力と抵抗が同じ向きにはたらくので減速が速く、下りでは向きが逆になるので加速が鈍い。

結果として、上りより下りのほうが長くかかります。戻ってきたときの速さも、投げ上げた速さより小さい。

大きいものほど速く落ちる

同じ形で大きさだけ違う物体を比べます。質量は長さの $3$ 乗、断面積は $2$ 乗で増える。

$$v_{\mathrm{T}}\propto \sqrt{\frac{L^3}{L^2}}=\sqrt{L}$$

大きいほど速い。半径 $10\mathrm{cm}$ のひょうは時速 $200\mathrm{km}$ を超えます^[3]。

逆に小さいものほど落ちにくい。虫が高いところから落ちても平気なのは、この効き方のためです。体重に対して断面積が大きく、終端速度が低い。

見積もりで確かめる

終端速度の式は、単位で組み立てを確かめられます。$mg$ は $\mathrm{N}$、$\rho A{v}^2$ も $kg/{\mathrm{m}}^3\times {\mathrm{m}}^2\times {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2=\mathrm{kg}\cdot m/{\mathrm{s}}^2$ で $\mathrm{N}$。両辺そろっています。

もう一つの確かめ方は極端な場合です。$A$ を $0$ に近づければ $v_{\mathrm{T}}$ は無限に大きくなり、抵抗のない自由落下に戻る。$A$ を大きくすれば $v_{\mathrm{T}}$ は $0$ に近づき、落ちなくなります。

どちらも予想どおりの向きに動きました。式を書き写すときに $C$ や $\rho$ を分子と分母で入れ替えていると、この確認で気づけます。

落ちるものの速さは、重さではなく重さと断面積の比で決まる。雨粒と霧、人とパラシュート、どれも同じ $1$ 本の式の上に並んでいます。

参考文献