相対速度と川を渡る船（雨が斜めに当たる見え方とベクトルの引き算）

止まっているときは真下に降っていた雨が、走り出すと前から顔に当たります。雨の降り方は変わっていない。変わったのは、見ている側の速度です。

ある観測者から見た速度を相対速度といいます。地面から見た速度と、動く人から見た速度は別の量。どちらが正しいという話ではなく、どの立場で測った値かという話になる。

相対速度は速度の引き算

地面から見た速度がわかっているとき、$\mathrm{A}$ から見た $\mathrm{B}$ の速度は差でとれます^[1]。

$${\vec{v}}_{\mathrm{AB}}={\vec{v}}_{\mathrm{B}}-{\vec{v}}_{\mathrm{A}}$$

見る側を引く。見られる側から見る側を引くので、順序を逆にすると向きが反対になります。

$\mathrm{A}$ から見た $\mathrm{B}$ と、$\mathrm{B}$ から見た $\mathrm{A}$ は、大きさが同じで向きが逆。すれ違う $2$ 台の車が、たがいに同じ速さで近づいて見えるのはこのため。

一直線上なら符号だけで足りる

同じ直線上の運動では、向きを $+$ と $-$ で表せばベクトルを書かずに済みます。右向きを $+$ にとると決めてから計算する。

引き算の結果が $+$ なら相手は右へ、$-$ なら左へ動いて見えます。

例：高速道路で追い越す

同じ向きに走る $2$ 台を考える。自分が $100km/h$、前の車が $80km/h$ です。

$$v=80-100=-20km/h$$

前の車は、自分から見て後ろ向きに $20km/h$ で下がっていく。追い越しに時間がかかるのは、この値が小さいからです。

対向車線なら相手の速度は $-80km/h$ になる。

$$v=-80-100=-180km/h$$

$180km/h$ で近づいてきます。同じ $80km/h$ の車でも、すれ違いが一瞬なのは相対速度が $9$ 倍あるから。

例：電車の中を歩く

$15m/s$ で走る電車の中を、進行方向へ $1.0m/s$ で歩きます。地面から見た速度は足し算になる。

$$v=15+1.0=16m/s$$

後ろ向きに歩けば $14m/s$ です。車内で歩く速さは、地面から見れば電車の速さに乗ったり引かれたりするだけ。

平面ではベクトルの引き算になる

向きがそろっていないときは、速さの数値を引くだけでは合いません^[1]。成分に分けてから引きます。

$${\vec{v}}_{\mathrm{AB}}=(v_{\mathrm{B}x}-v_{\mathrm{A}x},v_{\mathrm{B}y}-v_{\mathrm{A}y})$$

作図でも出せます。$2$ 本の矢印の始点をそろえ、$\mathrm{A}$ の先から $\mathrm{B}$ の先へ矢印を引く。それが $\mathrm{A}$ から見た $\mathrm{B}$ の速度です。

例：走ると雨が斜めに当たる

鉛直に $5.0m/s$ で降る雨のなかを、水平に $3.0m/s$ で走ります。地面を基準に成分を書く。

雨の速度は $(0,-5.0)$、人の速度は $(3.0,0)$ です。上向きを $+$ にとりました。

$$\vec{v}=(0-3.0,-5.0-0)=(-3.0,-5.0)$$

人から見ると、雨は後ろ向きの成分を持つ。つまり前方から飛んでくる形になります。

$$|\vec{v}|=\sqrt{3.0^2+5.0^2}=5.8m/s$$

鉛直からの傾きは、水平成分と鉛直成分の比で決まる。

$$\tan \theta =\frac{3.0}{5.0}=0.60⟹\theta =31^{\circ }$$

傘を $31$ 度だけ前へ傾けると、雨に正面から向き合えます。速く走るほど角度は大きくなる。

止まると角度は $0$ に戻り、雨は真下から当たるようになります。傘の傾け方が速さで変わるのは、相対速度の向きが変わるから。

川を渡る船では 2 通りの渡り方がある

エンジンが決めるのは、水に対する船の速度です^[4]。地面から見た速度は、それに流れの速度を足したものになる。

岸から見た速度を $\vec{v}$、水に対する速度を ${\vec{v}}_0$、流れの速度を $\vec{u}$ と書きます^[3]。

$$\vec{v}={\vec{v}}_0+\vec{u}$$

この足し算が、渡り方を $2$ 通りに分けます。船首を対岸へまっすぐ向けるか、上流へ傾けるか。

対岸へまっすぐ船首を向けた場合

川幅を $d$、静水での船の速さを $v$、流れの速さを $u$ とします。

川を横切る向きの速度成分は $v$ のままなので、渡る時間はいちばん短くなる^[1]。

$$t=\frac{d}{v}$$

そのあいだ流れに乗って下流へ運ばれる。流される距離は次のようになります。

$$x=ut=\frac{ud}{v}$$

岸から見た航跡は斜めの直線。地面から見た速さは $\sqrt{v^2+u^2}$ になります。

上流へ船首を傾けた場合

流れを打ち消すには、船の速度の上流成分を $u$ に等しくします。船首の傾きを $\theta$ とすると条件はこうなる。

$$v\sin \theta =u⟹\sin \theta =\frac{u}{v}$$

このとき対岸へ向かう成分だけが残り、まっすぐ渡れます^[1]。

$$v^{\prime }=\sqrt{v^2-u^2},t=\frac{d}{\sqrt{v^2-u^2}}$$

$v>u$ でなければ $\sin \theta$ が $1$ を超えて、この渡り方はできません。流れのほうが速い川では、どう船首を向けても下流へ流されます。

例：川幅 120 m を渡る

静水での船の速さを $5.0m/s$、流れを $3.0m/s$ とします。

まっすぐ船首を向けた場合、$t=120/5.0=24\mathrm{s}$ で渡れます。流される距離は $3.0\times 24=72\mathrm{m}$。

上流へ傾けた場合は $\sin \theta =0.60$ で $\theta =37^{\circ }$ です。渡る速さは $\sqrt{5.0^2-3.0^2}=4.0m/s$ になる。

$$t=\frac{120}{4.0}=30\mathrm{s}$$

$6$ 秒よけいにかかります。時間を惜しむか、下流に流されるのを惜しむかという選択。

どちらも間違いではありません。何を短くしたいかで選ぶだけ。試験では「最短時間」か「最短距離」かが必ず書いてあります。

加速度は見る立場を変えても同じ

等速で動く観測者へ乗りかえても、速度は一定量ずれるだけです。時間で微分すると、その一定量は消える^[2]。

$${\vec{a}}^{\prime }=\vec{a}$$

加速度が変わらないので、運動方程式の形も変わりません。等速で動く座標系がどれも慣性系になるのは、この性質から来ています。

一方、加速している観測者へ乗りかえると差が残ります。そこで見かけの力が要るようになる。

川の流れが速いとどうなるか

流れを打ち消せるかどうかは、船の速さと流れの速さの比で決まります。角度をいくら工夫しても、この比が $1$ を超えなければ足りない。

まちがえやすいところ

参考文献