脱出速度と第二宇宙速度｜地球の重力を振り切る条件

上に投げたボールが戻ってくるのは、速さが足りないからです。速くすれば高く上がり、さらに速くすれば、もう戻ってこない。

その境目の速さを脱出速度といいます。地球の表面からなら秒速 $11.2\mathrm{km}$ で、第二宇宙速度とも呼ばれる^[3]。

エネルギーの符号が分かれ目になる

万有引力による位置エネルギーは、無限に遠い点を基準にとります。だから値はつねに負になる。

$$U=-G\frac{Mm}{r}$$

運動エネルギーと足したものが力学的エネルギー $E$ です。この符号が、戻るか戻らないかを決めます。

$E$ が負なら、どこかで運動エネルギーが尽きて折り返す。$E$ が $0$ 以上なら、どこまで行っても速さが残る^[1]。

脱出速度を出す

無限に遠いところで速さが $0$ になる場合を考えます。そこでは運動エネルギーも位置エネルギーも $0$ なので、$E=0$ になる。

出発点でも $E=0$ でなければなりません^[1]。

$$\frac{1}{2}m{v}^2-G\frac{Mm}{R}=0$$

$m$ が両辺から消えます。

$$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

ロケットでも小石でも、必要な速さは同じ^[4]。質量が大きいほど必要なエネルギーは増えますが、速さの条件は変わりません。

地表の g を使った形

$GM=g{R}^2$ という関係を使うと、身近な量だけで書けます。

$$v=\sqrt{2gR}$$

地球の半径 $6.37\times 10^6\mathrm{m}$ を入れる。

$$v=\sqrt{2\times 9.8\times 6.37\times 10^6}=1.12\times 10^{4}m/s$$

秒速 $11.2\mathrm{km}$ です^[3]。時速に直すとおよそ $4$ 万 $\mathrm{km}$ になる。

第一宇宙速度の √2 倍になっている

地表すれすれを回る速さは $\sqrt{GM/R}$ でした。第一宇宙速度を $v_1$、脱出速度を $v_2$ と書くと、$2$ つは平方根 $2$ 個ぶんだけ違います。

$$v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}},v_2=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{2}{v}_1$$

$7.9\times 1.41$ で $11.2$。周回する速さから、$41$ パーセント上乗せすれば出ていける計算になります^[3]。

回り続けるのと出ていくのが、これほど近い値なのは意外に思えるところ。エネルギーで見れば $2$ 倍の差ですが、速さは平方根ぶんしか変わりません。

左の $2$ つは、いくら高く上がってもいつかは折り返します。右だけが折り返さない。境目は連続していて、$1$ パーセント足りなければ戻ってきます。

向きは関係ない

脱出速度の式に角度は入っていません。真上でも斜めでも、その速さがあれば出ていける。

エネルギーだけで決まる条件なので、速度の向きは効かないためです。ただし斜めに撃つと地面や大気にぶつかるので、実際には使えません。

打ち上げが東向きに行われるのは、自転の速度を上乗せできるから。赤道では秒速 $0.46\mathrm{km}$ ほど得をします。

ほかの天体ではどうなるか

月が小さいのは、質量が小さく半径も小さいからです^[4]。地球の $5$ 分の $1$ ほどしかない。

アポロ計画の月着陸船が小さくて済んだのは、この差のおかげです。帰りに必要な速さが低ければ、燃料も減る。

太陽系の外へ出るには、太陽の重力も振り切る必要があります。地球の公転速度を利用しても、地表から秒速 $16.7\mathrm{km}$ が要る^[3]。これを第三宇宙速度といいます。

大気が残るかどうかも脱出速度で決まる

気体の分子は熱運動でばらばらの速さを持ちます。平均の速さは温度と分子の質量で決まる^[2]。

$$v=\sqrt{\frac{3kT}{m}}$$

この平均が脱出速度の $2$ 割を超えると、その気体は $10$ 億年のうちに半分以上が逃げてしまいます^[2]。速い分子から順に抜けていくため。

大気の上層はおよそ $1000\mathrm{K}$ です。水素分子ならこの式で秒速 $3.5\mathrm{km}$、窒素分子なら秒速 $0.94\mathrm{km}$ になる。

地球の目安は $11.2$ の $2$ 割で秒速 $2.2\mathrm{km}$。窒素は残り、水素は残らないという結果になります^[2]。

月の目安は $2.4$ の $2$ 割で秒速 $0.48\mathrm{km}$ です。窒素でも超えてしまうので、大気そのものが残りません。

金星と火星の大気の濃さが極端に違うのも、この見積もりと重力の差から説明できます。同じ岩石惑星でも、質量が違えば残るものが変わる。

光さえ出られない大きさ

脱出速度の式で $v$ を光の速さ $c$ に置いてみます。

$$c=\sqrt{\frac{2GM}{R}}⟹R=\frac{2GM}{c^2}$$

これより小さく押し込むと、光でも出ていけない計算になります。この半径をシュヴァルツシルト半径といいます。

地球の質量なら $8.9\mathrm{mm}$、太陽の質量なら $3.0\mathrm{km}$ です。ビー玉ほどに縮めた地球が、それにあたる。

速さが足りないとどうなるか

脱出速度に届かない打ち上げでも、物体はいったん高く上がります。どこまで上がるかは、エネルギーが尽きる位置で決まる。

まちがえやすいところ

出典