等加速度直線運動：v-t グラフの面積と 3 つの公式の使い分け

等加速度直線運動の式は $3$ 本あります。覚えて当てはめる人が多いところですが、$v$-$t$ グラフを $1$ 枚描けば全部その場で作れる。

必要なのは $2$ つの読み方だけです。傾きが加速度、面積が変位^[1]。

位置と速度と加速度のつながり

速度は位置の変化する速さ、加速度は速度の変化する速さです。どちらも「$1$ 秒あたりにどれだけ変わるか」を表している。

グラフでは、この関係が傾きになります^[1]。

上の $2$ つが微分、下の $2$ つが積分にあたります。高校では面積として扱いますが、やっていることは同じ。

3 つのグラフを縦に並べる

加速度が一定のとき、$a$-$t$ グラフは水平な直線です。その面積が時間に比例して増えるので、$v$-$t$ グラフは傾いた直線になる^[4]。

$v$-$t$ グラフの面積は時間の $2$ 乗で増えます。だから $x$-$t$ グラフは放物線になる^[2]。

傾きの読み方から 1 本目が出る

加速度は $v$-$t$ グラフの傾きです。一定なら、直線の式そのままになる。

$$v=v_0+at$$

$v_0$ は $t=0$ での切片。この式は「毎秒 $a$ ずつ速さが増える」と言っているだけです^[3]。

面積の読み方から 2 本目が出る

$v$-$t$ グラフの下にできる図形は台形です。上底 $v_0$、下底 $v$、高さ $t$。

長方形と三角形に分けて足すと、次のようになる^[3]。

$$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$$

長方形が $v_{0}t$、三角形が $\frac{1}{2}(at)t$ です。図形の面積を出しているだけで、新しいことは何もしていない。

台形のまま計算する形もあります。こちらのほうが速いことが多い^[3]。

$$x=\frac{v_0+v}{2}t$$

$(v_0+v)/2$ は平均の速さ。等加速度なら、速さの平均は始めと終わりの平均でよい。

時間を消すと 3 本目が出る

$1$ 本目を $t=(v-v_0)/a$ と直し、台形の式へ入れます。

$$x=\frac{v_0+v}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}=\frac{v^2-v_0^2}{2a}$$

整理すると、時間の入らない形になる^[3]。

$$v^2-v_0^2=2ax$$

時間が問われていない問題では、これがいちばん短い道になります。

例：5 秒後の速さと距離

初速 $4.0m/s$、加速度 $2.0m/{\mathrm{s}}^2$ で $5.0$ 秒進む場合を出します。

$$v=4.0+2.0\times 5.0=14m/s$$

距離は台形の面積で計算する。平均の速さは $(4.0+14)/2=9.0m/s$ です。

$$x=9.0\times 5.0=45\mathrm{m}$$

$3$ 本目でも確かめられます。$v^2=4.0^2+2\times 2.0\times 45=196$ で、$v=14m/s$。一致しました。

例：ブレーキで止まるまでの距離

$20m/s$ で走る車が、$-4.0m/{\mathrm{s}}^2$ の加速度で減速します。止まるまでの時間から出す。

$$0=20-4.0t⟹t=5.0\mathrm{s}$$

平均の速さは $(20+0)/2=10m/s$ なので、距離は $50\mathrm{m}$ になります。

速さが $2$ 倍の $40m/s$ なら、$3$ 本目から距離は $4$ 倍の $200\mathrm{m}$。制動距離が速さの $2$ 乗で伸びるのは、この式が示しているとおりです。

変位と道のりは別の量

$v$-$t$ グラフが時間軸より下に来ると、面積は負として数えます。行って戻る運動では、この打ち消しが起きる。

真上へ $19.6m/s$ で投げ上げ、$4.0$ 秒後を見ます。上向きを正、$a=-9.8m/{\mathrm{s}}^2$ としました。

$$x=19.6\times 4.0-4.9\times 4.0^2=0\mathrm{m}$$

変位は $0$ です。手もとへ戻ってきたので、位置は変わっていない。

道のりのほうは違います。最高点は $19.6^2/(2\times 9.8)=19.6\mathrm{m}$ なので、往復して $39.2\mathrm{m}$ 動いた。

問題文が「変位」なのか「動いた距離」なのかで答えが変わります。折り返す運動では必ず確かめる。

グラフから読みとる

グラフだけを渡されて変位を聞かれる問題は、面積を符号つきで足せば片づきます。軸を横切る点を先に見つけておくと速い。

つまずきやすいところ

参考