次元解析と単位の組み立て｜式が合っているかを単位で確かめる

テストで書いた式が正しいかどうかは、答えを知らなくてもある程度は確かめられます。両辺の単位を見ればよい。

長さと時間を足すことはできません。同じように、左辺が速さの単位なら右辺も速さの単位でなければならない^[1]。この確かめ方を次元解析といいます。

単位はすべて 7 つから組み立てられる

国際単位系では、基本単位を $7$ つ決めています^[3]。秒、メートル、キログラム、アンペア、ケルビン、モル、カンデラ。

力学で使うのは、このうち $3$ つだけです。m と kg と s。ほかの単位はすべて、この $3$ つの掛け算と割り算で書けます^[3]。

組立単位の中身をたどる

ニュートンは $F=ma$ から出ます。質量に加速度を掛けたものなので、次のように分解できる^[2]。

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\times 1m/{\mathrm{s}}^2=1\mathrm{kg}m/{\mathrm{s}}^2$$

ジュールは「力 $\times$ 距離」なので、これにメートルを掛けます。

$$1\mathrm{J}=1\mathrm{N}\mathrm{m}=1\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$$

ワットは $1$ 秒あたりのジュールで $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^3$、パスカルは $1{\mathrm{m}}^2$ あたりのニュートンで $kg/(\mathrm{m}{\mathrm{s}}^2)$。単位を覚えていなくても、定義の式からたどれます。

次元は単位より一段抽象的

メートルもフィートも、表しているのは長さです。単位の選び方を抜きにして「長さである」ことだけを言うとき、次元という言葉を使います^[2]。

力学で使う次元は $3$ つ。質量を $\mathsf{M}$、長さを $\mathsf{L}$、時間を $\mathsf{T}$ と書く。

速さは長さを時間で割ったものなので $\mathsf{L}{\mathsf{T}}^{-1}$、加速度は $\mathsf{L}{\mathsf{T}}^{-2}$、力は $\mathsf{ML}{\mathsf{T}}^{-2}$ です。

次元の計算に使うルール

計算のしかたは $4$ つ覚えれば足ります^[4]。

$3$ つめが見落とされやすいところです。$\sin (\omega t)$ が使えるのは、$\omega t$ が ${\mathsf{T}}^{-1}\times \mathsf{T}$ で無次元になるから。

角度も無次元です。ラジアンは弧の長さを半径で割った値なので、長さが約分されて消えます。

例：等加速度の式を確かめる

よく使う式を見てみます。

$$v^2=v_0^2+2ax$$

左辺は $(\mathsf{L}{\mathsf{T}}^{-1}{)}^2={\mathsf{L}}^2{\mathsf{T}}^{-2}$ です。右辺の第 $2$ 項は $\mathsf{L}{\mathsf{T}}^{-2}\times \mathsf{L}={\mathsf{L}}^2{\mathsf{T}}^{-2}$。

$3$ つの項がすべて ${\mathsf{L}}^2{\mathsf{T}}^{-2}$ でそろいました。係数の $2$ には次元がないので、確かめる必要もありません。

例：まちがえた式をあぶり出す

加速度の式を思い出せず、$v=v_0+a{t}^2$ と書いてしまったとします。

右辺の第 $2$ 項は $\mathsf{L}{\mathsf{T}}^{-2}\times {\mathsf{T}}^2=\mathsf{L}$ です。左辺は $\mathsf{L}{\mathsf{T}}^{-1}$ なので合いません。

計算する前に誤りだと分かります。次元が合わない式は必ずまちがい^[4]。逆は言えないので、合っていても正しいとは限りません。

例：式の形そのものを次元から出す

単振り子の周期が、糸の長さ $L$、重力加速度 $g$、おもりの質量 $m$ で決まるとします。形を次のように置く^[1]。

$$T=C{m}^{\alpha }{L}^{\beta }{g}^{\gamma }$$

$C$ は数の係数で無次元です。両辺の次元を書き出す。

$$\mathsf{T}={\mathsf{M}}^{\alpha }{\mathsf{L}}^{\beta }(\mathsf{L}{\mathsf{T}}^{-2}{)}^{\gamma }={\mathsf{M}}^{\alpha }{\mathsf{L}}^{\beta +\gamma }{\mathsf{T}}^{-2\gamma }$$

指数を突き合わせます。$\mathsf{M}$ は左辺にないので $\alpha =0$、$\mathsf{T}$ から $-2\gamma =1$、$\mathsf{L}$ から $\beta +\gamma =0$。

$$\alpha =0,\gamma =-\frac{1}{2},\beta =\frac{1}{2}$$

つまり $T=C\sqrt{L/g}$ です^[4]。質量が入らないことが、計算せずに出てきました。

$C$ の値までは分かりません。運動方程式を解くと $2\pi$ だと分かる。次元解析は形を教えても、数までは教えてくれない。

例：空気抵抗の式を確かめる

速さの $2$ 乗に比例する抵抗力は、次の形で書かれます。

$$F=\frac{1}{2}C\rho A{v}^2$$

$\rho$ は空気の密度、$A$ は断面積です。右辺の次元を出す。

$$\mathsf{M}{\mathsf{L}}^{-3}\times {\mathsf{L}}^2\times {\mathsf{L}}^2{\mathsf{T}}^{-2}=\mathsf{ML}{\mathsf{T}}^{-2}$$

力の次元と一致しました。$C$ は無次元の係数なので、次元には効きません。

次元が同じでも別の量になることがある

仕事とトルクは、どちらも $\mathsf{M}{\mathsf{L}}^2{\mathsf{T}}^{-2}$ です。単位で書けば両方とも $\mathrm{N}\mathrm{m}$ になる。

それでも別の量です。仕事はスカラーで、トルクはベクトル。次元が同じでも、足したり比べたりはできません。

トルクを $\mathrm{N}\mathrm{m}$ と書き、仕事を J と書き分けるのは、この混同を避けるため。次元は必要な条件を与えるだけで、量の正体までは決めません。

単位から答えの形を読む

参考文献